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一维前缀和

795. 前缀和

a[i] 的前 i 项和 s[i] 的递推公式：s[i]=s[i−1]+a[i]s[i] = s[i - 1] + a[i]s[i]=s[i−1]+a[i]
求出在 [l, r] 区间的和：sum[l,r]=s[r]−s[l−1]sum[l,r]=s[r]-s[l-1]sum[l,r]=s[r]−s[l−1]
注意 a[i] 和 s[i] 均从下标1开始记录数据

import java.util.*;
import java.io.*;public class Main {BufferedWriter log = new BufferedWriter(new OutputStreamWriter(System.out));BufferedReader reader = new BufferedReader(new InputStreamReader(System.in));int[] a, s;int n, m;int l, r;void run() throws Exception {String[] split = reader.readLine().split(" ");n = Integer.parseInt(split[0]);m = Integer.parseInt(split[1]);a = new int[n + 1];s = new int[n + 1];split = reader.readLine().split(" ");for (int i = 1; i <= n; i++) {a[i] = Integer.parseInt(split[i - 1]);}for (int i = 1; i <= n; i++) {s[i] = s[i - 1] + a[i];}while (m-- > 0) {split = reader.readLine().split(" ");l = Integer.parseInt(split[0]);r = Integer.parseInt(split[1]);log.write(s[r] - s[l - 1] + "\n");}log.flush();log.close();reader.close();}public static void main(String[] args) throws Exception {new Main().run();}

二维前缀和

796. 子矩阵的和

前缀和矩阵递推式：Sx,y=Sx−1,y+Sx,y−1−Sx−1,y−1+Ax,yS_{x,y}=S_{x-1,y}+S_{x,y-1}-S_{x-1,y-1}+A_{x,y}Sx,y=Sx−1,y+Sx,y−1−Sx−1,y−1+Ax,y
主对角线两端点值为[(x1,y1),(x2,y2)][(x_1,y_1),(x_2,y_2)][(x1,y1),(x2,y2)]的子矩阵和：sum[(x1,y1),(x2,y2)]=Sx2,y2−Sx1−1,y2−Sx2,y1−1+Sx1−1,y1−1sum[(x_1,y_1),(x_2,y_2)]=S_{x_2,y_2}-S_{x_1-1,y2}-S_{x_2,y_1-1}+S_{x_1-1,y_1-1}sum[(x1,y1),(x2,y2)]=Sx2,y2−Sx1−1,y2−Sx2,y1−1+Sx1−1,y1−1
注意：矩阵的行列均从下标1开始记录数据
用一个3x3矩阵来推导：
- 前缀和矩阵：先加原矩阵上面和左边的2x3和3x2矩阵，再减去左上角的2x2矩阵，最后加上Ax,yA_{x,y}Ax,y
- 由前缀和矩阵求子矩阵和：用大矩阵减去上面1x3和左边的3x1小矩阵，最后加回一次左上角的1x1矩阵

import java.util.*;
import java.io.*;class Main {BufferedReader reader = new BufferedReader(new InputStreamReader(System.in));BufferedWriter log = new BufferedWriter(new OutputStreamWriter(System.out));String[] split;int n, m, q;int[][] matrix;int[][] s;int x1, y1, x2, y2;void run() throws Exception {split = reader.readLine().split(" ");n = Integer.valueOf(split[0]);m = Integer.valueOf(split[1]);q = Integer.valueOf(split[2]);matrix = new int[n + 1][m + 1];s = new int[n + 1][m + 1];for (int i = 1; i <= n; i++) {split = reader.readLine().split(" ");for (int j = 1; j <= m; j++) {matrix[i][j] = Integer.valueOf(split[j - 1]);}}// 求出前缀和矩阵for (int i = 1; i <= n; i++) {for (int j = 1; j <= m; j++) {s[i][j] = s[i - 1][j] + s[i][j - 1] - s[i - 1][j - 1] + matrix[i][j];}}while (q-- > 0) {split = reader.readLine().split(" ");x1 = Integer.valueOf(split[0]);y1 = Integer.valueOf(split[1]);x2 = Integer.valueOf(split[2]);y2 = Integer.valueOf(split[3]);log.write(s[x2][y2] - s[x2][y1 - 1] - s[x1 - 1][y2] + s[x1 - 1][y1 - 1] + "\n");}log.flush();}public static void main(String[] args) throws Exception {new Main().run();}
}

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