一维前缀和与二维前缀和

前缀和

#一维前缀和：
1）其实就是数列的前n项和，直接放代码：`

sum[1]=a[1];for(int i=2;i<=n;i++)sum[i]=sum[i-1]+a[i];/*其实也可以不开另外一个数组，用原数组即可*//*for(int i=2;i<=n;i++)a[i]+=a[i-1];*/

#二维前缀和：
*1）*二维前缀和的意义：
现有下面这样的一个二维矩阵：

1 2 4 3
5 1 2 4
6 3 5 9

那么其对应的二维前缀和的矩阵则为：

1  3  7  10
6  9  15 22
12 18 29 45

故二维前缀和的第i行第j列元素(设为sum[i][j])表示的意思是以sum[i][j]为右下角，sum[1][1]为左上角的元素之和（若sum[i][j]在第一行或第一列，则为sum[i][j]沿着这一行或列的元素之和）

*2）*二维前缀和示例代码：

/*这里从二维数组的第一行第一列开始存入数据，让第0行第0列的数据为0，就不需要另外写if语句讨论第一行与第一列的前缀和了*/
for (int i=1; i<=n; i++){for (int j=1; j<=m; j++){cin >> a[i][j];sum[i][j] = sum[i-1][j]+sum[i][j-1]-sum[i-1][j-1]+a[i][j];}}

*3）*二维数组例题：
P1719 最大加权矩形
#题目描述
为了更好的备战NOIP2013，电脑组的几个女孩子LYQ,ZSC,ZHQ认为，我们不光需要机房，我们还需要运动，于是就决定找校长申请一块电脑组的课余运动场地，听说她们都是电脑组的高手，校长没有马上答应他们，而是先给她们出了一道数学题，并且告诉她们：你们能获得的运动场地的面积就是你们能找到的这个最大的数字。

校长先给他们一个N*N矩阵。要求矩阵中最大加权矩形，即矩阵的每一个元素都有一权值，权值定义在整数集上。从中找一矩形，矩形大小无限制，是其中包含的所有元素的和最大。矩阵的每个元素属于[-127,127],例如

0 –2 –7 0
9 2 –6 2
-4 1 –4 1
-1 8 0 –2
在左下角：

9 2
-4 1
-1 8
和为15。

几个女孩子有点犯难了，于是就找到了电脑组精打细算的HZH，TZY小朋友帮忙计算，但是遗憾的是他们的答案都不一样，涉及土地的事情我们可不能含糊，你能帮忙计算出校长所给的矩形中加权和最大的矩形吗？

输入格式
第一行：n，接下来是n行n列的矩阵。

输出格式
最大矩形（子矩阵）的和。

输入输出样例
输入 #1复制
4
0 -2 -7 0
9 2 -6 2
-4 1 -4 1
-1 8 0 -2
输出 #1复制
15
说明/提示
n<=120

a）思路：
直接在所有二维前缀和里面找出最大的元素是不对的，因为最大矩阵之和可能是出现在子矩阵之中，再看看数据并不大可以暴力解决，所以这一题直接先枚举每一个前缀和可以表示的矩阵，再比较这个矩阵之和与其子矩阵之和的大小，下面直接放代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define ll long long
int a[125][125] = {0};
int sum[125][125] = {0};
int Max = -130;
int main()
{ios::sync_with_stdio(false);int n;cin >> n;for (int i = 1; i <= n; i++)for (int j = 1; j <= n; j++)cin >> a[i][j];sum[1][1] = a[1][1];for(int i=1;i<=n;i++)for (int j = 1; j <= n; j++)sum[i][j] += sum[i - 1][j] + sum[i][j - 1] - sum[i - 1][j - 1] + a[i][j];for (int i = 1; i <= n; i++)for (int j = 1; j <= n; j++)for (int x = 0; x <= i; x++)for (int y = 0; y <= j; y++)Max = max(Max, sum[i][j] - sum[i - x][j] - sum[i][j - y] + sum[i - x][j - y]);cout << Max;return 0;
}

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