一维前缀和，二维前缀和，一维差分，二维差分（翻译）
练习一道题目
输入一个长度为n的整数序列。
接下来再输入m个询问，每个询问输入一对l, r。
对于每个询问，输出原序列中从第l个数到第r个数的和。
输入格式
第一行包含两个整数n和m。
第二行包含n个整数，表示整数数列。
接下来m行，每行包含两个整数l和r，表示一个询问的区间范围。
输出格式
共m行，每行输出一个询问的结果。
数据范围
1≤l≤r≤n,
1≤n,m≤100000,
−1000≤数列中元素的值≤1000
输入样例：
5 3
2 1 3 6 4
1 2
1 3
2 4
输出样例：
3
6
10
代码：
#include <iostream>using namespace std;const int N = 100010;int n, m;
int a[N], s[N];int main()//前缀和运算，题目要求先输入n表示输入n个数据存储在数组中
//m表示m次询问，每一次询问再输出2个数字，表示前面输入数组下标，计算两个数组下标区间的数组区间和
{scanf("%d%d", &n, &m);for (int i = 1; i <= n; i ++ ) scanf("%d", &a[i]);//输入数据存储于数组 for (int i = 1; i <= n; i ++ ) s[i] = s[i - 1] + a[i]; // 前缀和的初始化（记住这一套路，这一段话都是）//目的是 从1遍历到n，用一个新的数组表示s[i]=a[1]+a[2]+a[3]+...+a[i]//后面计算两个数组区间时可以用 s[r] - s[l - 1]表示 a[l]----a[r]区间的数组值之和 while (m -- ){int l, r;scanf("%d%d", &l, &r);printf("%d\n", s[r] - s[l - 1]); // 区间和的计算}return 0;
}
概念：前缀和是指某序列的前n项和，可以把它理解为数学上的数列的前n项和，而差分可以看成前缀和的逆运算。合理的使用前缀和与差分，可以将某些复杂的问题简单化。
原理：
sum[r] =a[1]+a[2]+a[3]+a[l-1]+a[l]+a[l+1]......a[r];
sum[l-1]=a[1]+a[2]+a[3]+a[l-1];
sum[r]-sum[l-1]=a[l]+a[l+1]+......+a[r];
二维前缀和：
如果数组变成了二维数组怎么办呢？
先给出问题：
输入一个n行m列的整数矩阵，再输入q个询问，每个询问包含四个整数x1, y1, x2, y2，表示一个子矩阵的左上角坐标和右下角坐标。对于每个询问输出子矩阵中所有数的和。
同一维前缀和一样，我们先来定义一个二维数组s[][], s[i][j]表示二维数组中，左上角(1,1)到右下角( i,j )所包围的矩阵元素的和。接下来推导二维前缀和的公式。
先看一张图：
紫色面积是指(1,1)左上角到(i,j-1)右下角的矩形面积, 绿色面积是指(1,1)左上角到(i-1, j )右下角的矩形面积。每一个颜色的矩形面积都代表了它所包围元素的和。
从图中我们很容易看出，整个外围蓝色矩形面积s[i][j] = 绿色面积s[i-1][j] + 紫色面积s[i][j-1] - 重复加的红色的面积s[i-1][j-1]+小方块的面积a[i][j];
因此得出二维前缀和预处理公式
s[i] [j] = s[i-1][j] + s[i][j-1 ] + a[i] [j] - s[i-1][ j-1]
接下来回归问题去求以(x1,y1)为左上角和以(x2,y2)为右下角的矩阵的元素的和。
如图：
紫色面积是指 ( 1,1 )左上角到(x1-1,y2)右下角的矩形面积 ，黄色面积是指(1,1)左上角到(x2,y1-1)右下角的矩形面积；
不难推出：
绿色矩形的面积 = 整个外围面积s[x2, y2] - 黄色面积s[x2, y1 - 1] - 紫色面积s[x1 - 1, y2] + 重复减去的红色面积 s[x1 - 1, y1 - 1]
因此二维前缀和的结论为：
以(x1, y1)为左上角，(x2, y2)为右下角的子矩阵的和为：
s[x2, y2] - s[x1 - 1, y2] - s[x2, y1 - 1] + s[x1 - 1, y1 - 1]
总结：
练习一道完整题目：
输入一个n行m列的整数矩阵，再输入q个询问，每个询问包含四个整数x1, y1, x2, y2，表示一个子矩阵的左上角坐标和右下角坐标。
对于每个询问输出子矩阵中所有数的和。
输入格式
第一行包含三个整数n，m，q。
接下来n行，每行包含m个整数，表示整数矩阵。
接下来q行，每行包含四个整数x1, y1, x2, y2，表示一组询问。
输出格式
共q行，每行输出一个询问的结果。
数据范围
1≤n,m≤1000,
1≤q≤200000,
1≤x1≤x2≤n,
1≤y1≤y2≤m,
−1000≤矩阵内元素的值≤1000
输入样例：
3 4 3
1 7 2 4
3 6 2 8
2 1 2 3
1 1 2 2
2 1 3 4
1 3 3 4
输出样例：
17
27
21
代码：
#include<iostream>//本题目要求输出n行，m列的二维数组，再输入q表示q次询问
//每次询问，输入两个坐标点 ，计算以这两个坐标点所构成矩形面积内的数字和并输出
#include<cstdio>
using namespace std;
const int N=1010;//二维前缀和
int a[N][N],s[N][N];
int main()
{int n,m,q;scanf("%d%d%d",&n,&m,&q);//n行，m列和q次询问 for(int i=1;i<=n;i++){for(int j=1;j<=m;j++){scanf("%d",&a[i][j]);//输入数据存储到这个二维数组当中 }}for(int i=1;i<=n;i++){for(int j=1;j<=m;j++){//这一段建议理解并背诵记忆，是一个结论公式，通过它相邻的数值依次遍历输入到这个新的二维数组当中 s[i][j]=s[i-1][j]+s[i][j-1]+a[i][j]-s[i-1][j-1];}//新的二维数组s[i][j]可以表示 a（1，1）到a（i，j）两个端点所构成矩形的面积内所有元素之和 }while(q--)//q次询问完后自减1 {int x1,y1,x2,y2;scanf("%d%d%d%d",&x1,&y1,&x2,&y2);printf("%d\n",s[x2][y2]-s[x2][y1-1]-s[x1-1][y2]+s[x1-1][y1-1]);}//这条公式也建议理解背诵记忆，它表示两个端点（x1，y1）与 （x2，y2）所构成矩形的面积内所有元素之和return 0;
}
练习
答案：
#include<iostream>
using namespace std;
const int N = 1e5 + 10;
long long a[N], s[N];
int main()
{int n, m;cin >> n >> m;for (int i = 1;i <= n;++i)scanf_s("%lld", &a[i]);for (int i = 1;i <= n;i++)s[i] = s[i - 1] + a[i];while (m--){int l, r;scanf_s("%d %d", &l, &r);printf("%lld\n", s[r] - s[l - 1]);}return 0;
}
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int N=2e3+10;//防止越界
int a[N][N],s[N][N];
int main(void)
{int n;//输入星星数量 cin>>n;for(int i=0;i<n;i++){int x,y,w;//输入每个坐标和它的亮度 scanf("%d %d %d",&x,&y,&w);a[x][y]+=w;}for(int i=0;i<=2000;i++){for(int j=0;j<=2000;j++){//套用公式，遍历，s[i][j]表示的是从[0,0]到 [i][j]这两个点所构成矩形面积内亮度的大小（a[x][y]的大小） s[i][j]=s[i-1][j]+s[i][j-1]-s[i-1][j-1]+a[i][j];}}int m;cin>>m;//输入m次询问 while(m--){int x1,x2,y1,y2;//输入两个坐标点求两个坐标点所构成矩形面积内亮度的大小 scanf("%d %d %d %d",&x1,&y1,&x2,&y2);//套用公式 ans表示的是（x1，y1）与（x2，y2）所构成矩形面积内的亮度大小 int ans=s[x2][y2]-s[x1-1][y2]-s[x2][y1-1]+s[x1-1][y1-1]; printf("%d\n",ans);}return 0;} 可以点开看这个视频介绍差分数组
【一维差分(算法)-哔哩哔哩】 https://b23.tv/NQwokGQ
输出样例3：1 1
代码段
#include<iostream>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int N=1e6+10;//防止越界
int a[N],d[N];
void add(int l,int r,int c)//子函数，l是left（左）首字母，r是right（右）首字母，l，r表示数组下标，c表示要增加的长度
{//建议理解背诵记忆 意义是d[l]和d[r+1] 这两个数组（仅仅是这两个）的值都加上了c长度
//接下来再用前缀和运算 遍历 a[i]=a[i-1]+d[i]; 得到的a[i]是指从a[0]数组到a[i]数组值的和，这样就可以表示一个长度
//我举一个具体的例子，一开始d[n]={0},d数组所有的值都为0
//假设l=1，r=4，那么add(1,4,1); d[l]+=c;d[r+1]-=c; 表示的是d[1]=0+1=1,d[5]=d[4+1]=0-1=-1,
//此时拿前n个d数组分别的值是 d0=0 d1=1 d2=0 d3=0 d4=0 d5=-1 d6=0 d7=0 0 0 0........
//此时 用a数组的前缀和运算表示 ，一开始a[n]={0}全部都是0，遍历一次后a[i]=a[i-1]+d[i];
//a数组的前n个值分别是a0=0 a1=1 a2=1 a3=1 a4=1 a5=0 a6=0 a7=0 0 0 0....
//通过观察发现，从a1到a4的所有数组的都加上了1，但在a1之前和a4之后所有值还是保持为原来的0 d[l]+=c;//d[r+1]-=c;} int main(void){int n,m;cin>>n>>m;//输入n个气球个数，m次询问 while(m--){int l,r;scanf("%d %d",&l,&r);//每次询问完自减1，输入两个区间长度的坐标 add(l,r,1);//l，和r表示从第l个气球到第r个气球（包括这两个）之间 全部涂色+1 }for(int i=1;i<=n;i++) //因为a[-1]下标最少从0开始，a最小值为1 a[i]=a[i-1]+d[i];//遍历求前缀和运算 for(int i=1;i<=n;i++)//因为a[-1]下标最少从0开始，a最小值为1 {printf("%d ",a[i]);//再遍历输出每一个气球所对应的涂色次数 }printf("\n");return 0;}【二维差分(算法)2-哔哩哔哩】 https://b23.tv/wNQ4cIh
二维差分数组
我们画个图去理解一下这个过程：
b[x1][ y1 ] +=c ; 对应图1 ,让整个a数组中蓝色矩形面积的元素都加上了c。
b[x1,][y2+1]-=c ; 对应图2 ,让整个a数组中绿色矩形面积的元素再减去c，使其内元素不发生改变。
b[x2+1][y1]- =c ; 对应图3 ,让整个a数组中紫色矩形面积的元素再减去c，使其内元素不发生改变。
b[x2+1][y2+1]+=c; 对应图4,让整个a数组中红色矩形面积的元素再加上c，红色内的相当于被减了两次，再加上一次c，才能使其恢复。
我们将上述操作封装成一个插入函数:
void insert(int x1,int y1,int x2,int y2,int c)
{ //对b数组执行插入操作，等价于对a数组中的(x1,y1)到(x2,y2)之间的元素都加上了cb[x1][y1]+=c;b[x2+1][y1]-=c;b[x1][y2+1]-=c;b[x2+1][y2+1]+=c;
}
当然关于二维差分操作也有直接的构造方法，公式如下：
b[i][j]=a[i][j]−a[i−1][j]−a[i][j−1]+a[i−1][j−1]（二维前缀和结论）
二维差分数组的构造同一维差分思维相同，因次在这里就不再展开叙述了。
#include<iostream>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int N=1e3+10;//防止越界
int a[N][N],d[N][N];
void add(int x1,int y1,int x2,int y2,int c)
//二维的差分数组，类似于一维数组原理是一样的，可以看成2个一维差分数组
//在y1那一列和 x2+1那一行
//建议读者在理解一维差分数组的基础上再学习二维差分数组
//建议理解记忆背诵这个子函数
//为了计算在二维数组中两个点所构成面积内的 值，需要分两部，
//第一步是写成下面这个子函数的形式，
//使（x1，y1）和（x2，y2）这两个点所构成的矩形面积内的数组都加上c值//第二步是利用结论公式（二维前缀和） 遍历，a[i][j]表示的是每个点位置数组所对应的 值
{d[x1][y1]+=c;d[x2+1][y1]-=c;d[x1][y2+1]-=c;d[x2+1][y2+1]+=c;} int main(void){int n,m; int x1,y1,x2,y2;//输出2个坐标点 scanf("%d %d %d %d",&x1,&y1,&x2,&y2);add(x1,y1,x2,y2,1);for(int i=1;i<=n;i++) {for(int j=1;j<=n;j++)//遍历输出 { a[i][j]=a[i-1][j]+a[i][j-1]-a[i-1][j-1]+d[i][j];//推导的结论，建议在理解的基础是背诵记忆 printf("%d ",a[i][j]);//二维前缀和结论 }puts("");}printf("\n");return 0;}转载别人的题目：一维差分练习
题目练习： AcWing 797. 差分
输入一个长度为n的整数序列。
接下来输入m个操作，每个操作包含三个整数l, r, c，表示将序列中[l, r]之间的每个数加上c。
请你输出进行完所有操作后的序列。
输入格式
第一行包含两个整数n和m。
第二行包含n个整数，表示整数序列。
接下来m行，每行包含三个整数l，r，c，表示一个操作。
输出格式
共一行，包含n个整数，表示最终序列。
数据范围
1≤n,m≤100000,
1≤l≤r≤n,
−1000≤c≤1000,
−1000≤整数序列中元素的值≤1000
输入样例：
6 3
1 2 2 1 2 1
1 3 1
3 5 1
1 6 1
输出样例：
3 4 5 3 4 2
AC代码
//差分 时间复杂度 o(m)
#include<iostream>
using namespace std;
const int N=1e5+10;
int a[N],b[N];
int main()
{int n,m;scanf("%d%d",&n,&m);for(int i=1;i<=n;i++) {scanf("%d",&a[i]);b[i]=a[i]-a[i-1]; //构建差分数组}int l,r,c;while(m--){scanf("%d%d%d",&l,&r,&c);b[l]+=c; //表示将序列中[l, r]之间的每个数加上cb[r+1]-=c;}for(int i=1;i<=n;i++) {b[i]+=b[i-1]; //求前缀和运算printf("%d ",b[i]);}return 0;
}
二维差分练习：
题目练习： AcWing 798. 差分矩阵
输入一个n行m列的整数矩阵，再输入q个操作，每个操作包含五个整数x1, y1, x2, y2, c，其中(x1, y1)和(x2, y2)表示一个子矩阵的左上角坐标和右下角坐标。
每个操作都要将选中的子矩阵中的每个元素的值加上c。
请你将进行完所有操作后的矩阵输出。
输入格式
第一行包含整数n,m,q。
接下来n行，每行包含m个整数，表示整数矩阵。
接下来q行，每行包含5个整数x1, y1, x2, y2, c，表示一个操作。
输出格式
共 n 行，每行 m 个整数，表示所有操作进行完毕后的最终矩阵。
数据范围
1≤n,m≤1000,
1≤q≤100000,
1≤x1≤x2≤n,
1≤y1≤y2≤m,
−1000≤c≤1000,
−1000≤矩阵内元素的值≤1000
输入样例：
3 4 3
1 2 2 1
3 2 2 1
1 1 1 1
1 1 2 2 1
1 3 2 3 2
3 1 3 4 1
输出样例：
2 3 4 1
4 3 4 1
2 2 2 2
AC代码：
include<iostream>
#include<cstdio>
using namespace std;
const int N=1e3+10;
int a[N][N],b[N][N];
void insert(int x1,int y1,int x2,int y2,int c)
{b[x1][y1]+=c;b[x2+1][y1]-=c;b[x1][y2+1]-=c;b[x2+1][y2+1]+=c;
}
int main()
{int n,m,q;cin>>n>>m>>q; for(int i=1;i<=n;i++)for(int j=1;j<=m;j++)cin>>a[i][j];for(int i=1;i<=n;i++){for(int j=1;j<=m;j++){insert(i,j,i,j,a[i][j]); //构建差分数组}}while(q--){int x1,y1,x2,y2,c;cin>>x1>>y1>>x2>>y2>>c;insert(x1,y1,x2,y2,c);}for(int i=1;i<=n;i++){for(int j=1;j<=m;j++){b[i][j]+=b[i-1][j]+b[i][j-1]-b[i-1][j-1];}}for(int i=1;i<=n;i++){for(int j=1;j<=m;j++){printf("%d ",b[i][j]);}printf("\n");}return 0;
}
声明：本人在理解基础上翻译学习原作者文章并引用了一些图片，文字，题目，并加上自己的理解，还有自己的一些题目，本文章仅用作学术交流研究学习用途，并无任何其他目的，若侵犯原作者权益，请联系博主，真诚得感谢每一位读者，如果你喜欢我得文章，请给我点赞，关注，谢谢你，你们的鼓励是对我最大的支持
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