HDU5015 233 Matrix

题目的意思是有一个叫做233 Matrix的矩阵。

给定第一行元素a(0, 1) = 233, a(0, 2) = 2333, a(0, 3) = 23333, ..., a(0, n) = 10 * a(0, n - 1) + 3, (n >= 2)。

第一列元素a(1, 0), a(2, 0), a(3, 0), ..., a(n, 0)，和一个递推式子a(i ,j) = a(i - 1, j) + a(i, j - 1), (i,j ≠ 0)，让你求出a(n, m) mod 10000007的值。

其中，a(0, 0)应该等于0，n和m及第一列元素由输入给定。数据范围为n ≤ 10,m ≤ 109

因为数据量很大，暴力求解肯定是不行的。必定超时，虽然给定的时间是5秒钟。

那接下来就是推公式了，而我最终也真的推出来个公式，但很遗憾，它只有当n和m相等的时候才成立，可是n最大才为10，这种思路也就被否定了。

既然给定的是一个矩阵的形式，难道可以用矩阵快速幂搞出来？可以试试。注意一点，如果能构造出来快速幂的话，也只有按列来推。

对于给定的递推式a(i ,j) = a(i - 1, j) + a(i, j - 1)，将它展开则a(i, j) = a(i - 1, j) + a(i, j - 1) = a(i - 2, j) + a(i - 1, j - 1) + a(i, j - 1) = a(i - 3, j) + a(i - 2, j - 1) + a(i - 1, j - 1) + a(i, j - 1) = ...

很快就可以发现规律了得到：a(i, j) = a(1, j - 1) + a(2, j - 1) + ... + a(i, j - 1) + a(0, j)。

如下图：

图片橙色部分等于蓝色部分的和，也就是上边的公式。

我们的目的是由当前蓝色的部分，推出与它紧邻的右边下一列蓝色的部分。

构造如下矩阵，我们希望找出一个n+1阶的方阵，使得如下矩阵式成立。

根据上述推导的公式，可得A矩阵的第一行为[1 0 ... 0 1]，第二行为[1 1 0 ... 0 1]，第三行为[1 1 1 0 ... 0 1]，。。。，第n行为[1 1 1 ... 1 1]。

遗憾的是第n+1行无论怎么取值也无法是矩阵式成立。

因为a(0, m + 1） = a（0，m）* 10 + 3，那么显然n+1行的矩阵不能满足要求，可以将矩阵变成n+2行最后一行为3。则矩阵就变成：

相应的A矩阵第一行为[1 0 ... 0 1 0]，第二行为[1 1 0 ... 0 1 0]，第三行为[1 1 1 0 ... 0 1 0]，。。。，第n行为[1 1 1 ... 1 1 0]，第n+1行为[0 0 0 0 .... 0 10 1]，

第n+2行为[0 0 0 0 ... 0 0 1]。则矩阵A的形式如下：

由于矩阵乘法的结合律，可得：

这样就可以对矩阵A^m使用矩阵快速幂了。

自己的代码：

#include<iostream>
#include<cstring>
#include<cstdio>
#define ll long long
using namespace std;
const ll mod = 10000007;
int n, m;
struct matrix
{ll mat[15][15];matrix(){memset(mat, 0, sizeof(mat));}
};
matrix multi(matrix A, matrix B)
{matrix C;for(int i = 1; i <= n+2; i++)for(int j = 1; j <= n+2; j++)for(int k = 1; k <= n+2; k++)C.mat[i][j] = (C.mat[i][j] + A.mat[i][k]*B.mat[k][j]) % mod;return C;
}
matrix fast_mod(matrix base, int k)
{matrix tmp;for(int i = 1; i <= n+2; i++)tmp.mat[i][i] = 1;while(k){if(k&1)tmp = multi(tmp, base);base = multi(base, base);k >>= 1;}return tmp;
}
int main()
{while(scanf("%d%d", &n, &m) != EOF){matrix ans, base;ans.mat[1][1] = 23;for(int i = 1; i <= n; i++)scanf("%d", &ans.mat[i+1][1]);ans.mat[n+2][1] = 3;for(int i = 1; i <= n+1; i++)base.mat[i][1] = 10;for(int i = 1; i <= n+2; i++)base.mat[i][n+2] = 1;for(int i = 2; i <= n+1; i++)for(int j = 2; j <= i; j++)base.mat[i][j] = 1;base = fast_mod(base, m);ans = multi(base, ans);cout << ans.mat[n+1][1] << endl;}return 0;
}

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