阶梯形矩阵

分为行阶梯形矩阵（Row Echelon Form）和列阶梯形矩阵（Column Echelon Form），行阶梯形矩阵应用更多，一般说阶梯形矩阵指行阶梯形矩阵。

需满足的条件：

1，所有非零行（矩阵的行至少有一个非零元素）在所有全零行的上面。即全零行都在矩阵的底部。
2，非零行的首项系数（leading coefficient），也称作主元，即最左边的首个非零元素，严格地比上面行的首项系数更靠右（某些版本会要求非零行的首项系数必须是1）。
3，首项系数所在列，在该首项系数下面的元素都是零（前两条的推论）。

矩阵等价

定义:

如果矩阵A经过有限次初等行变换变成矩阵B，就成矩阵A与B行等价。

如果矩阵A经过有限次初等列变换变成矩阵B，就成矩阵A与B列等价。

如果矩阵A经过有限次初等变换变成矩阵B，就称矩阵A与B等价。

矩阵的秩

1、定义：矩阵的阶梯形中非零行的个数称为A的秩。
矩阵A的秩不大于A的非零行的个数，也不大于A的非零列的个数。

推论及定理：

（1）引理7 如果矩阵A与B是行等价的，则A与B的非零列的个数相等；如果矩阵A与C是列等价的，则A与C的非零行的个数相等.

（2）命题7 矩阵A的秩不大于A的非零行的个数，也不大于A的非零列的个数.

（3）引理8 如果矩阵A与B是行等价的，则r(A)=r(B)

（4）引理9 如果对矩阵A作一次初等列变换得矩阵B，那么 r(A)=r(B)

（5）定理2 如果矩阵A与B是等价的，则 r(A)=r(B)

（8）设A为n阶矩阵，如果 r(A)=n ,则A可以表示为有限个n阶初等矩阵的乘积.

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