视觉SLAM中，本质矩阵、基础矩阵、单应性矩阵自由度和秩分析

2024-06-09 19:53:51

视觉SLAM中，本质矩阵、基础矩阵、单应性矩阵自由度和秩分析

1.各个矩阵的自由度

由于基础矩阵和本质矩阵都是由对极约束来的

1.1 本质矩阵E的自由度为5，秩为2

1.1.1 自由度：
首先，旋转和平移一共6个自由度。
其次，由于对极约束的原因，本质矩阵是具有尺度等价性的，所以自由度减1。
所以，本质矩阵的自由度为5。

旋转矩阵的9个参数，存在6个约束条件，所以只有3个自由度：三个向量的模长为1这3个条件、三个向量两两垂直2个条件（XY垂直，XZ垂直这两个）、以及右手系（或左手系）这1个条件（这个条件意味着行列式是1或-1，也暗示了如果XY垂直YZ垂直，则XZ也会垂直）。9 - 3 - 2 - 1 = 3

1.1.2 秩

性质：正交矩阵一定是可逆矩阵，秩为3

可得–>旋转矩阵的秩是3

关于平移向量的反对称矩阵的秩是2，可以证明的

因此–>本质矩阵的的秩为2

1.2 基础矩阵F的自由度为7，秩为2

1.2.1 自由度

首先，基础矩阵也是一个3x3的矩阵。
其次，其仍然受对极约束的影响，具有尺度等价性。
再其次，基础矩阵的行列式为0。（因为他的秩为2，见下面。）
最后得到，基础矩阵的自由度为7.

1.左右相机内参的待定参数各为4，平移[T]x的待定参数是3，旋转矩阵R的自由度是3，加在一起是4+4+3+3=14个参数，也就是正常来说把14个参数都确定了才能确定F。
2.但是实际上F是一个3*3的矩阵，只包含9个参数，所以计算F的自由度最大是9，也就是9个参数就可以确定F。

1.2.2 秩

首先，相机内参矩阵秩为3，旋转矩阵秩为3。
其次，平移反对称矩阵秩为2。
最后，同样由性质2得出，基础矩阵的秩为2。

1.3 单应性矩阵H的自由度为8，秩为3

1.3.1 自由度

首先，单应性矩阵也是一个3x3的矩阵。
其次，其具有尺度等价性。
最后得到，基础矩阵的自由度为8。

1.3.2 秩

因为单应性矩阵是可逆矩阵，所以他的秩为3

2.单应矩阵应用

单应矩阵描述的就是同一个平面的点在不同图像之间的映射关系，这里前提是同一个平面，这个前提很重要

应用：https://mp.weixin.qq.com/s/lx9P45fVniccrz5c68wPyw

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