线性代数·关于线性相关和线性组合

我本来对线性相关和线性组合的理解是，如果几个向量线性相关，那么等价于他们可以互相线性表示。但其实这是一个误区。

线性相关是对一组向量之间的关系而言的，这里面会存在极大线性无关组。极大线性无关组确定了一个空间，线性相关表示向量都落在这个空间里，会有多余，但其中任何一个极大线性无关组都像一个顶梁柱一样，要表示其他向量他们就不能缺。

因此，在线性相关的一组向量里，不一定每个向量都可以被其他向量线性表示。

比如在（0，0，1）（0，1，0）（1，0，0）（1，1，1）这一组中，前三个向量是“顶梁柱”，可以说（1，1，1）是可以被线性表示的，但前三个中任何一个就不能被其他线性表示。

所以，线性相关是表示一组向量之间是否除了“顶梁柱”还有其他向量，可以通过把他们排成一个矩阵，通过初等行（列）变换计算他们是否列（行）满秩，若不是列满秩，则这组列向量就有多余的向量，那么他们除了“顶梁柱”还有别的向量，那么他们线性相关。（也可以看成以他们为系数矩阵的一个齐次线性方程组的解的情况，如果要线性相关，那就要有非零解，回到系数矩阵，还是r（A）< 未知数个数）

此处小结论：n维向量空间中任意多于n个向量组成的向量组必线性无关。

而线性组合是针对一个向量是否能被一组向量所“接受”，他站在展示台，面临着这组“评审向量”的测量。如果他的维数在向量组的空间里，就可以被“接纳”，就可以被线性表示。

那么具体计算向量a是否可以被线性表示，可以考虑把“评审向量组”作为系数矩阵，a作为等号右边的向量的非齐次线性方程组，如果有解，那们就可以被线性表示。

总之，如果向量是一群人，线性相关是集体之间的相容性，是一个有联系的群体的下限：至少有一个人可以游走其中，连通所有人；而线性组合则是某个人被接纳的程度：你未必是那个可以游走四方，配六国相印的人。

（制作较为粗糙，权当经验的记录和分享而尔。）

线性代数·关于线性相关和线性组合相关推荐

【线性代数】线性相关与线性无关的定义与性质
定义1 线性相关: Kn K n K^n中向量组 α1,α2,...,αs α 1 , α 2 , . . . , α s \alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_s(s ≥ ≥ \ ...
重温线性代数（1）——线性组合
线性代数是数学中的基础,也是十分重要的数学工具.在接触机器学习之后,我逐渐认识到了线性代数的重要性,矩阵运算,优化求解,都离不开线性代数的知识.同时,我也发现了自己数学基础的严重不足,急需好好重学一遍 ...
线性代数(7): 线性相关与线性无关
文章目录 1 线性组合 2 线性相关 3 线性无关 4 矩阵的逆和线性相关,线性无关 5 直观理解线性相关和线性无关 5.1 线性相关 5.2 线性无关参考资料注:转载请标明原文出处链接:http ...
线性代数——对向量的线性组合中的“线性”的理解
对于每个向量而言,乘以一个标量后会有伸缩变化,无论是伸长还是缩短(同向或反向),都是在同一个方向上发生长度的变化,好像有一条向两个方向无限延伸的直线. 当有多个做过数乘运算的向量相加的时候,实际上是把 ...
线性代数之向量线性相关线性表示的求法
线性代数之线性相关线性表示的求法线性相关向量是n个m维(每个向量分量的个数)的向量,若存在一组不全为0的使得则是线性相关的,反之线性无关. 线性无关即等价于以下命题: 线性不相关找不到 ...
1.7 线性无关（第1章线性代数中的线性方程组）
内容概述本节首先从向量的代数关系出发,引入了向量组的线性无关.线性相关两个重要的概念:接着,以递进的方式,首先研究了一个或两个向量之间的关系,引入一些判断向量关系的方法,例如通过观察法来判定两个向量 ...
量子力学 or 线性代数（一）？
线性代数与量子力学的前世今生(一) 一. 猫的叠加态(NOT 非死即生) 二. 关于量子力学的一些基本概念. 三. 概率,内积,以及本征态的正交性本博客是博主的在初学量子力学时,感觉自己力不从心,无 ...
贝塞尔曲线与B样条曲线
文章目录 0.参考 1.问题起源与插值法的曲线拟合 1.1.问题起源 1.2.拉格朗日插值 1.3."基"的概念 1.4.插值存在的Runge现象 2.贝塞尔曲线 2.1.控制点的 ...
线性代数 —— 线性组合与线性表出，线性相关与线性无关
线性代数入门--线性组合与线性表出,线性相关与线性无关线性组合与线性表出相关例题 --"xxx能否由xxx线性表出" 线性相关与线性无关定义含义相关例题线性组合与线性表 ...

线性代数·关于线性相关和线性组合

线性代数·关于线性相关和线性组合相关推荐

最新文章

热门文章