1.2 二维三维空间向量组的线性组合

二维三维空间向量组的线性组合

向量的基本运算法则，构成了整个线性代数的基础。在物理学中，特别是求系统平衡时，经常碰到这类问题，给定若干矢量，这些矢量和能与某特定矢量平衡吗？这就需要研究向量组的线性组合，本节给出低维空间中的情况，因为低维空间中，向量组的线性组合有几何图像。线性组合是核心概念，希望读者重视背后的几何图像。本章后面内容是对这些情况进行理论提升，并推广到高维空间。

二维平面线性组合

考虑两个二维向量 v=(1,0)\mathbf{v}=(1,0)v=(1,0) 和 w=(0,1)\mathbf{w}=(0,1)w=(0,1) ，根据向量数乘和向量加法，向量
αv+βw=(α,0)+(0,β)=(α,β)\alpha \mathbf{v} + \beta \mathbf{w} = (\alpha,0)+(0,\beta)=(\alpha,\beta) αv+βw=(α,0)+(0,β)=(α,β)
其几何图像为，分别把向量 v\mathbf{v}v 拉伸为原来的 α\alphaα 倍，向量 w\mathbf{w}w 拉伸为原来的 β\betaβ 倍，然后相加，这可以看作广义的矢量合成，线性代数称之为线性组合。

定义线性组合 αv+βw\alpha \mathbf{v} + \beta \mathbf{w}αv+βw 是向量组 (v,w)(\mathbf{v},\mathbf{w})(v,w) 的线性组合，实数 (α,β)(\alpha,\beta)(α,β) 称为表示系数组。

(α,β)(\alpha,\beta)(α,β) 组取不同的值，可表示不同的向量。特别的，如

1v+1w=(1,1);0v+1w=(0,1);1v+0w=(1,0);0v+0w=(0,0)1 \mathbf{v} + 1 \mathbf{w} = (1,1);\quad 0 \mathbf{v} + 1 \mathbf{w} = (0,1);\quad 1 \mathbf{v} + 0 \mathbf{w} = (1,0);\quad 0 \mathbf{v} + 0 \mathbf{w} = (0,0)1v+1w=(1,1);0v+1w=(0,1);1v+0w=(1,0);0v+0w=(0,0) 。

定义线性表示存在 (α,β)(\alpha,\beta)(α,β) 组，向量 u＝αv+βw\mathbf{u} ＝ \alpha \mathbf{v} + \beta \mathbf{w}u＝αv+βw ，称向量 u\mathbf{u}u 能被向量组 (v,w)(\mathbf{v},\mathbf{w})(v,w) 线性表示，简称表示。

强调一下，当表示系数全0时， 0\mathbf{0}0 向量被任意向量组表示！

(α,β)(\alpha,\beta)(α,β) 可在实数域内任意取值，每一组值对应一个向量，这样所有 (α,β)(\alpha,\beta)(α,β) 表示的向量构成一个向量集合。该集合有无穷多个向量，这些向量组成了二维平面，或者说二维平面内任意向量 (x,y){(x,y)}(x,y) 都对应唯一的 (α,β)(\alpha,\beta)(α,β) ，(α=x,β=y)(\alpha=x,\beta=y)(α=x,β=y) 。

二维向量 v=(1,1)\mathbf{v}=(1,1)v=(1,1) 和 w=(2,1)\mathbf{w}=(2,1)w=(2,1) ，它们的线性组合是否也组成二维平面，答案是肯定的。
αv+βw=(α,α)+(2β,β)=(α+2β,α+β)\alpha \mathbf{v} + \beta \mathbf{w} = (\alpha,\alpha)+(2\beta,\beta)=(\alpha+2\beta,\alpha+\beta) αv+βw=(α,α)+(2β,β)=(α+2β,α+β)
二维平面内任意向量 (x,y){(x,y)}(x,y) 都对应唯一的 (α,β)(\alpha,\beta)(α,β) 组，(α=−x+2y,β=x−y)(\alpha=-x+2y,\beta=x-y)(α=−x+2y,β=x−y) 。

是否任意两个二维向量，它们的线性组合都组成二维平面呢？答案是否定的。

二维向量 v=(1,2)\mathbf{v}=(1,2)v=(1,2) 和 w=(−2,−4)\mathbf{w}=(-2,-4)w=(−2,−4) ，它们的线性组合
αv+βw=(α,2α)+(−2β,−4β)=(α−2β,2α−4β)=(α−2β,2(α−2β))=(α−2β)(1,2)\alpha \mathbf{v} + \beta \mathbf{w} = (\alpha,2\alpha)+(-2\beta,-4\beta)=(\alpha-2\beta,2\alpha-4\beta)=(\alpha-2\beta,2(\alpha-2\beta))=(\alpha-2\beta)(1,2) αv+βw=(α,2α)+(−2β,−4β)=(α−2β,2α−4β)=(α−2β,2(α−2β))=(α−2β)(1,2)
向量 (1,1)(1,1)(1,1) 就不能被其表示。向量 (x,2x)(x,2x)(x,2x) 能被表示，且能被无穷多 (α=x+2β,β=任意)(\alpha=x+2\beta,\beta=任意)(α=x+2β,β=任意) 组表示，但该线性组合只能表示向量 λ(1,2)\lambda(1,2)λ(1,2) ，因为向量 w＝−2v\mathbf{w} ＝ -2\mathbf{v}w＝−2v ，所以
αv+βw=αv−2βv=(α−2β)v=λv＝λ(1,2)\alpha \mathbf{v} + \beta \mathbf{w} = \alpha \mathbf{v} - 2\beta \mathbf{v} = (\alpha-2\beta )\mathbf{v}=\lambda\mathbf{v}＝\lambda(1,2) αv+βw=αv−2βv=(α−2β)v=λv＝λ(1,2)
实际上，当两个向量成比例时，即 w＝λv\mathbf{w} ＝ \lambda \mathbf{v}w＝λv ，此时它们共线，它们的线性组合只能表示向量 αv+βw=(α+λβ)v\alpha \mathbf{v} + \beta \mathbf{w} = (\alpha + \lambda \beta) \mathbf{v}αv+βw=(α+λβ)v 即该直线，且有无穷多种表示；但不能表示直线外的任意向量。

重要性质 二维平面内两个向量不共线时，线性组合能表示整个平面，平面内任意向量对应唯一表示；共线时线性组合只能表示该直线，该直线内任意向量对应无穷多表示；不能表示直线外的任意向量。

进一步考虑3个二维向量的线性组合。

定义线性组合 αv+βw+γu\alpha \mathbf{v} + \beta \mathbf{w} + \gamma \mathbf{u}αv+βw+γu 为向量组 (v,w,u)(\mathbf{v},\mathbf{w},\mathbf{u})(v,w,u) 的线性组合，实数 (α,β,γ)(\alpha,\beta,\gamma)(α,β,γ) 称为表示系数组。

显然当3个向量中有任意两个向量不共线，线性组合能表示整个平面；只有3个向量均共线时线性组合只能表示该直线。

3个二维向量和2个二维向量的表示有什么不同呢？差别在于表示的唯一性。当3个向量中有任意两个向量不共线时，平面内任意向量均有无穷多表示。证明如下，假设 v,w\mathbf{v},\mathbf{w}v,w 不共线，任意向量 y\mathbf{y}y 表示为 y=αv+βw+γu\mathbf{y} =\alpha \mathbf{v} + \beta \mathbf{w} + \gamma \mathbf{u}y=αv+βw+γu ，两边加上向量 −γu-\gamma \mathbf{u}−γu ，得 y−γu=αv+βw\mathbf{y} - \gamma \mathbf{u} =\alpha \mathbf{v} + \beta \mathbf{w}y−γu=αv+βw ，当 λ\lambdaλ 取任意实数时，均存在向量 v,w\mathbf{v},\mathbf{w}v,w 的线性组合能唯一表示向量 y−γu\mathbf{y} - \gamma \mathbf{u}y−γu 。

更进一步考虑 nnn 个二维向量的线性组合。

定义线性组合 α1v1+⋯+αnvn\alpha_1 \mathbf{v_1} + \cdots + \alpha_n \mathbf{v_n}α1v1+⋯+αnvn 为向量组 (v1,⋯,vn)(\mathbf{v_1},\cdots,\mathbf{v_n})(v1,⋯,vn) 的线性组合，实数 (α1,⋯,αn)(\alpha_1,\cdots,\alpha_n)(α1,⋯,αn) 称为表示系数组。

显然有如下结论，

重要性质 n≥3n \ge 3n≥3 个二维向量的线性组合，如果有任意两个向量不共线，线性组合能表示整个平面，且表示有无穷多个；只有所有向量均共线时线性组合只能表示该直线且表示有无穷多个。

三维空间线性组合

考虑两个三维向量 v=(1,0,0)\mathbf{v}=(1,0,0)v=(1,0,0) 和 w=(0,1,0)\mathbf{w}=(0,1,0)w=(0,1,0) ，根据向量数乘和向量加法，它们线性组合为
αv+βw=(α,0,0)+(0,β,0)=(α,β,0)\alpha \mathbf{v} + \beta \mathbf{w} = (\alpha,0,0)+(0,\beta,0)=(\alpha,\beta,0) αv+βw=(α,0,0)+(0,β,0)=(α,β,0)
能唯一表示二维平面（x,y,0）（x,y,0）（x,y,0）内的任意向量，但不能表示该平面外任意向量（x,y,z）∀z≠0（x,y,z）\forall z \ne 0（x,y,z）∀z=0 。

根据立体几何知识，不共线的两条直线确定一个平面。

重要性质 任意两个不共线的向量的线性组合能唯一表示由这两个向量确定的平面内的任意向量。如果向量不位于该平面内，则线性组合不能表示该向量。

如果有3个三维向量呢？

考虑3个三维向量 v=(1,0,0)\mathbf{v}=(1,0,0)v=(1,0,0) 、 w=(0,1,0)\mathbf{w}=(0,1,0)w=(0,1,0) 和 u=(0,0,1)\mathbf{u}=(0,0,1)u=(0,0,1) ，根据向量数乘和向量加法，它们线性组合为
αv+βw++γu=(α,0,0)+(0,β,0)++(0,0,γ)=(α,β,γ)\alpha \mathbf{v} + \beta \mathbf{w} + + \gamma \mathbf{u} = (\alpha,0,0)+(0,\beta,0) + +(0,0,\gamma)=(\alpha,\beta,\gamma) αv+βw++γu=(α,0,0)+(0,β,0)++(0,0,γ)=(α,β,γ)
能唯一表示三维空间内的任意点，或者说三维空间内任意点 (x,y,z){(x,y,z)}(x,y,z) 都对应唯一的 (α,β,γ)(\alpha,\beta,\gamma)(α,β,γ) ，(α=x,β=y,γ=z)(\alpha=x,\beta=y,\gamma=z)(α=x,β=y,γ=z)。

重要性质 3个向量不共面时，它们线性组合能唯一表示三维空间内的任意向量。

重要性质 3个向量共面时，它们线性组合能表示由这3个向量确定的平面内的任意向量，且表示有无穷多个。如果向量不位于该平面内，则线性组合不能表示该向量。

如果有 n≥4n \ge 4n≥4 个三维向量呢？

重要性质 n≥4n \ge 4n≥4 个三维向量中有任意3个向量不共面时，它们线性组合能表示三维空间的任意向量，且表示有无穷多个。

重要性质 n≥4n \ge 4n≥4 个三维向量中如果不存在任意3个向量不共面，它们线性组合不能表示三维空间的任意向量。这 nnn 个三维向量如果确定一个平面，则它们线性组合能表示该平面内的任意向量，且表示有无穷多个。