考研数学：有理函数中多项式分解定理

设R(X)=P(X)/Q(X)R(X)=P(X)/Q(X)R(X)=P(X)/Q(X)是一个真分式，其中分母Q(X)Q(X)Q(X)有分解式:
Q(x)=(x−a)a⋯(x−b)β(x2+px+q)μ⋯(x2+rx+s)vQ(x)=(x-a)^{a} \cdots(x-b)^{\beta}\left(x^{2}+p x+q\right)^{\mu} \cdots\left(x^{2}+r x+s\right)^{v}Q(x)=(x−a)a⋯(x−b)β(x2+px+q)μ⋯(x2+rx+s)v,其中a,⋯,b,p,q,⋯,r,,sa,\cdots,b,p,q,\cdots,r,,sa,⋯,b,p,q,⋯,r,,s为实数，p2−4q,0,⋯,r2−4s<0,α,⋯,β,u,⋯,vp^2-4q,0,\cdots,r^2-4s<0,\alpha,\cdots,\beta,u,\cdots,vp2−4q,0,⋯,r2−4s<0,α,⋯,β,u,⋯,v为正整数，我们有：
R(x)=Aa(x−a)a+Aa−1(x−a)a−1+⋯+A1x−a+⋯+Bβ(x−b)β+Bβ−1(x−b)β−1+⋯+B1x−b+Kμx+Lμ(x2+px+q)μ+⋯+K1x+L1x2+px+q+⋯+Mrx+Nν(x2+rx+s)ν+⋯+M1x+N1x2+rx+s\begin{aligned} R(x)=& \frac{A_{a}}{(x-a)^{a}}+\frac{A_{a-1}}{(x-a)^{a-1}}+\cdots+\frac{A_{1}}{x-a}+\cdots \\ &+\frac{B_{\beta}}{(x-b)^{\beta}}+\frac{B_{\beta-1}}{(x-b)^{\beta-1}}+\cdots+\frac{B_{1}}{x-b} \\ &+\frac{K_{\mu} x+L_{\mu}}{\left(x^{2}+p x+q\right)^{\mu}}+\cdots+\frac{K_{1} x+L_{1}}{x^{2}+p x+q}+\cdots \\ &+\frac{M_{r} x+N_{\nu}}{\left(x^{2}+r x+s\right)^{\nu}}+\cdots+\frac{M_{1} x+N_{1}}{x^{2}+r x+s} \end{aligned} R(x)=(x−a)aAa+(x−a)a−1Aa−1+⋯+x−aA1+⋯+(x−b)βBβ+(x−b)β−1Bβ−1+⋯+x−bB1+(x2+px+q)μKμx+Lμ+⋯+x2+px+qK1x+L1+⋯+(x2+rx+s)νMrx+Nν+⋯+x2+rx+sM1x+N1
其中Ai,⋯,Ki,⋯,NiA_i,\cdots,K_i,\cdots,N_iAi,⋯,Ki,⋯,Ni都是实数，并且此分解式的所有系数是唯一的。

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