【算法基础12】最小生成树的两种解法（普里姆、克鲁斯卡尔）

一、稠密图：朴素版prim算法

主要思想：每次从树外的结点中找到一个距离树最近的点加入树，将这段路径长度计入最小生成树的路径长度中，然后依据新的树更新树外结点距离树的距离，再次找到最近点加入，直到所有结点都进入树，就得到了最小生成树。

例题：给出一个由n个结点m条边构成的图，求最小生成树，如果存在则输出最小生成树的路径长度，如果不存在则输出“impossible”。

#include<iostream>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;const int N=510,INF=0x3f3f3f3f;
int n,m,res=0;
int g[N][N],dist[N];//与最短路径不同，dist存的是结点到树的距离
bool st[N];int prim(){memset(dist,0x3f,sizeof dist);for(int i=0;i<n;i++){//确保所有结点入树，要遍历n次int t=-1;for(int j=1;j<=n;j++){//找当前情况下距离树最近的点if(!st[j]&&(t==-1||dist[t]>dist[j]))t=j;}if(i&&dist[t]==INF) return INF;//各个点独立，无法构成树if(i) res+=dist[t];//第一次遍历（i=0）时只有根结点没有路径//可能存在负权自环，要先累计路径再更新距离for(int j=1;j<=n;j++) dist[j]=min(dist[j],g[t][j]);//更新到树的距离st[t]=true;}return res;
}int main(){scanf("%d %d",&n,&m);memset(g,0x3f,sizeof(g));while(m--){int a,b,c;scanf("%d %d %d",&a,&b,&c);g[a][b]=g[b][a]=min(g[a][b],c);//无向图且有重边}int ans=prim();if(ans==INF) printf("impossible");else printf("%d",ans);return 0;
}

注：还可以通过引入堆来缩短查找距离最近点的时间，具体方法类似与堆优化的dijkstra（详见【算法基础11】），但在具体问题中很少使用，时间复杂度与克鲁斯卡尔算法一样，此处不做展开。

二、稀疏图：克鲁斯卡尔算法

主要思想：把边按照权重进行排序，依次找出权重最小的边，看这条边的起点a和终点b是否在同一个连通块内，如果不是则在最小生成树中加入这条边，将a所在的连通块和b所在的连通块合并。主要运用了并查集的核心思想。

例题：给出一个由n个结点m条边构成的图，求最小生成树，如果存在则输出最小生成树的路径长度，如果不存在则输出“impossible”。

#include<iostream>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;const int N=10010;
int n,m;
int p[N];struct edge{//定义一个数据结构存储边int a,b,w;bool operator< (const edge&W) const{//重定向“<”操作，方便edge按照w进行排序return w<W.w;}
}edges[N];int find(int x){//并查集中利用路径压缩找祖宗结点if(p[x]!=x) p[x]=find(p[x]);return p[x];
}int main(){scanf("%d %d",&n,&m);for(int i=0;i<m;i++){int a,b,w;scanf("%d %d %d",&a,&b,&w);edges[i]={a,b,w};}sort(edges,edges+m);//将边按照权重进行排序for(int i=1;i<=n;i++) p[i]=i;//初始化各个结点的父结点，注意判定条件是nint res=0,cnt=0;//res存储路径长度，cnt存储已经连通的边数for(int i=0;i<m;i++){int a=edges[i].a,b=edges[i].b,w=edges[i].w;if(find(a)!=find(b)){res+=w;cnt++;p[find(a)]=find(b);//合并连通块}}if(cnt<n-1) printf("impossible %d %d",cnt,n);//不能将所有点相连else printf("%d",res);return 0;
}

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