高斯消元法原理及模板

1.线形代数中的高斯消元法

高斯消元法：简单来说，就是消减未知元，来解多个方程组的一种方法，在线性代数中经常把方程组换算成矩阵，通过行列之间的加减法，把原来的矩阵转换成一个三角矩阵，然后回代求解。

解方程组例：

(1)x1+x2+x3=3

2*x1+3*x2+x3=5

3*x1+5*x2+6*x3=17

(2)第二式减去第一式的二倍，第三式减去第一式的三倍。

x1+x2+x3=3

x2-x3=-1

2*x2+3*x3=8

(3)第三式减去第2式的2倍

x1+x2+x3=3

x2-x3=-1

5*x3=10

(4)得出x3=2，然后代回原来的式子中进行求解。

转换成矩阵举例：

2.高斯消元法代码模板

int a[maxn][maxn];  //增广矩阵
int x[maxn];        //解集
bool freeX[maxn];   //标记解是否是自由变元int gcd(int a, int b)
{return b ? gcd(b, a % b) : a;
}int lcm(int a, int b)
{return a / gcd(a, b) * b;
}//高斯消元解方程组
//返回值-2表示有浮点数解，无整数解
//返回值-1表示无解，0表示有唯一解，大于0表示有无穷解，返回自由变元个数
//有equ个方程，var个变元
//增广矩阵行数[0, equ - 1]
//增广矩阵列数[0, var]
int gauss(int equ, int var)
{for (int i = 0; i <= var; i++){x[i] = 0;freeX[i] = true;}//转换为阶梯矩阵//col表示当前正在处理的这一列int col = 0;int row = 0;//maxR表示当前这个列中元素绝对值最大的行int maxRow;for (; row < equ && col < var; row++, col++){//枚举当前正在处理的行//找到该col列元素绝对值最大的那行与第k行交换maxRow = row;for (int i = row + 1; i < equ; i++){if (abs(a[maxRow][col]) < abs(a[i][col])){maxRow = i;}}if (maxRow != row){//与第row行交换for (int j = row; j < var + 1; j++){swap(a[row][j], a[maxRow][j]);}}if (a[row][col] == 0){//说明该col列第row行以下全是0，处理当前行的下一列row--;continue;}for (int i = row + 1; i < equ; i++){//枚举要删的行if (a[i][col] != 0){int LCM = lcm(abs(a[i][col]), abs(a[row][col]));int ta = LCM / abs(a[i][col]);int tb = LCM / abs(a[row][col]);//异号if (a[i][col] * a[row][col] < 0)tb = -tb;for (int j = col; j < var + 1; j++){a[i][j] = a[i][j] * ta - a[row][j] * tb;}}}}//    //1. 无解的情况: 化简的增广阵中存在(0, 0, ..., a)这样的行(a != 0).for (int i = row; i < equ; i++){if (a[i][col] != 0){return -1;}}// 2. 无穷解的情况: 在var * (var + 1)的增广阵中出现(0, 0, ..., 0)这样的行，即说明没有形成严格的上三角阵.//                  出现的行数即为自由变元的个数.if (row < var){// 首先，自由变元有var - k个，即不确定的变元至少有var - k个.for (int i = row - 1; i >= 0; i--){// 第i行一定不会是(0, 0, ..., 0)的情况，因为这样的行是在第k行到第equ行.// 同样，第i行一定不会是(0, 0, ..., a), a != 0的情况，这样的无解的.// freeNum用于判断该行中的不确定的变元的个数，如果超过1个，则无法求解，它们仍然为不确定的变元.int freeNum = 0;int freeIndex = 0;for (int j = 0; j < var; j++){if (a[i][j] != 0 && freeX[j]){freeNum++;freeIndex = j;}}if (1 < freeNum)// 无法求解出确定的变元.continue;// 说明就只有一个不确定的变元freeIndex，那么可以求解出该变元，且该变元是确定的.int tmp = a[i][var];for (int j = 0; j < var; j++){if (a[i][j] != 0 && j != freeIndex){tmp -= a[i][j] * x[j];}}x[freeIndex] = tmp / a[i][freeIndex];freeX[freeIndex] = false;}return var - row;}// 3. 唯一解的情况: 在var * (var + 1)的增广阵中形成严格的上三角阵.// 计算出Xn-1, Xn-2 ... X0.for (int i = var - 1; i >= 0; i--){int tmp = a[i][var];for (int j = i + 1; j < var; j++){if (a[i][j] != 0){tmp -= a[i][j] * x[j];}}if (tmp % a[i][i] != 0)//浮点数return -2;x[i] = tmp / a[i][i];}return 0;
}

3.高斯消元法经典例题

有一个5 * 6的矩阵，每个位置表示灯，1表示灯亮，0表示灯灭。

然后如果选定位置i，j点击，则位置i，j和其上下左右的灯的状态都会反转。

现在要你求出一个5 * 6的矩阵，1表示这个灯被点击过，0表示没有。

要求这个矩阵能够使得原矩阵的灯全灭。

#include <iostream>
#include <memory>
#include <cstring>
#include <string>
using namespace std;
char oriLights[5];
char Lights[5];
char result[5];
int GetBit(char c,int i)
{ return (c >> i) & 1;
}void SetBit(char &c,int i,int v)
{if (v) {c |=(1 << i);}else {c &= ~(1 << i);}
}void FlipBit(char &c,int i)
{c ^= (1 << i);
}void OutputResult(int t,char result[])
{cout << "PUZZLE #" << t << endl;for (int i = 0; i < 5;i++) {for (int j = 0; j < 6;j++) {cout << GetBit(result[i], j);if (j<5)cout << " ";}cout << endl;}
}
int main()
{int T;cin >> T;for (int t = 1; t <= T;t++) {memset(oriLights, 0, sizeof(oriLights));for (int i = 0; i < 5;i++) {for (int j = 0; j < 6;j++) {int s;cin >> s;SetBit(oriLights[i], j, s);}}for (int n = 0; n < 64;n++) {memcpy(Lights, oriLights, sizeof(oriLights));int switchs = n;for (int i = 0; i < 5;i++) {result[i] = switchs;for (int j = 0; j < 6;j++) {if (GetBit(switchs,j)) {if (j>0)                    FlipBit(Lights[i], j-1);FlipBit(Lights[i], j);if(j<5)FlipBit(Lights[i], j + 1);}}if (i<4) {Lights[i + 1] ^= switchs;}switchs = Lights[i];}if (Lights[4]==0) {OutputResult(t, result);break;}}}getchar();getchar();return 0;
}

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