树状数组

2021年7月29

1、算法原理

树状数组解决什么问题？

解决区间上点更新与维护的问题。如更改某些点值求区间和，或求某位前有多少比其小的问题。

其实现的原理是什么？

首先看图：

在这个图中，将每1<<i个数（0<=i<=n）分为一组 ,此时设置函数lowbit(i)，此函数将i的2进制中最后一位1前的数字全部删去，如lowbit(6)=4。

由图可看出，对于每个i，其都存在在其本身与i+lowbit(i)的区间数组内。例如：5—>101，101+1=110，此时存在于下标为6的区间内，随后，110+10=1000，1000+1000=10000，因此，5同时存在于下标为8与下标为16的区间内。

由此，可对数组进行更新操作：

for( ;i <= n; i+=lowbit(i)){tre[i]+=1;//此处不一定为1，根据题目不同更改，先对应下面样例
}

对于最大值为n的树状数组，每次将i加入相应区间。

那么，怎么进行查询操作？

对于一个数i可知，小于等于其本身的数字一定都存在于比其下标更小的数组里。因此此处依然可以按照二进制位进行查询，为了避免重复查询，依次进行i-lowbir(i)的操作进行查询，如：11—>1011,1011-1=1010,1010-10=1000,1000-1000=0(若下标从1开始可不要)，此时查询的下标为10,8，由图可知，所有小于等于11的数字，均存在于下标为10和8的数组内。

因此有查询操作：

for( ; i > 0; i-=lowbit(i)){res+=tre[i];
}

2、模板题：

描述：

第一行输入一个n，接下来一行输入n个数，为a1…an,1<=ai<=1e4。

接下来一行输出n个数，对于每个ai，输出其之前比它小的数字的数量。

#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<stdio.h>using namespace std;int n,num;
int tre[1005],ans[1005];int lowbit(int i){return (i & -i);
}void settre(int i){for( ; i < 1005; i += lowbit(i)){tre[i]++;}
}int solvetre(int i){int res = 0;for( ; i; i -= lowbit(i)){res+=tre[i];}return res;
}int main(){cin>>n;for(int i = 1; i <= n; i++){cin>>num;ans[i]=solvetre(num-1);settre(num);}cout<<ans[1];for(int i = 2; i <= n; i++){cout<<' '<<ans[i];}cout<<'\n';return 0;
}

输入样例：

9
1 5 2 9 4 1 7 8 3

输出样例：

0 1 1 3 2 0 5 6 3

3、实操例题

ACwing 242. 一个简单的整数问题

分析：

本题应将第i个数的差分存入树状数组，以便查询。

AC代码：

#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<stdio.h>
#include<string>
#include<string.h>
typedef long long ll;using namespace std;int n, m, num;
int a, b;
ll tre[100005];
int sic[100005];
string k;ll lowbit(ll i) {return (i & -i);
}void settre(int i, int c) {for (; i < n + 1; i += lowbit(i)) {tre[i] += c;}
}ll solvetre(int i) {ll res = 0;for (; i; i -= lowbit(i)) {res += tre[i];}return res;
}int main() {cin >> n >> m;for (int i = 1; i <= n; i++) {cin >> sic[i];}for (int i = 1; i <= n; i++) {settre(i, sic[i] - sic[i - 1]);}while(m--){cin >> k;if (k == "Q") {cin >> num;cout << solvetre(num) << endl;}else {cin >> a >> b >> num;settre(a, num); settre(b + 1, -num);}}return 0;
}

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