HNOI2011 卡农

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Description

$n$种元素，构成$m$个集合$(n,m\leq 10^6)$，保证集合互不相同且非空，且每个元素总出现次数为偶数，两种方案集合重新排列可互相得到算一种，求方案数。

Solution

开始做的时候不用管重新排列算重，只要最后除以$m!$即可。

设$f_i$为$i$个子集的答案。

因为出现次数为偶数，所以确定前$i-1$个子集后，第$i$个也唯一确定。即选择$i-1$个子集的方案数，总共有$2^n-1$个子集，所以为$A_{2^n-2}^{i-1}$

然后有一些方案不符合要求，需要删去。

若第$i$个集合为空，那么前$i-1$个为一种合法方案，所以要减去$f_{i-1}$。

若第$i$个集合与第$j（j<i)$个集合相同，那么剩下$n-2$个集合为一种合法方案$f_{n-2}$，$j$的位置有$n-1$种取值，而当$n-2$中确定后，$i$和$j$的取法为$2^n-1-(n-2)$。所以需减去$f_{i-2}\cdot (i-1)\cdot (2^n-i+1)$

综上所述：
\[ f_i=A_{2^n-1}^{i-1}-f_{i-1}-f_{i-2}\cdot (i-1)\cdot (2^n-i+1) \]

\[ Ans=\frac{f_m}{m!} \]

Code

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=1000005, P=100000007;
int A[N], F[N];inline int read()
{int x=0,f=1;char ch=getchar();for (;ch<'0'||ch>'9';ch=getchar()) if (ch=='-') f=-1;for (;ch>='0'&&ch<='9';ch=getchar()) x=(x<<1)+(x<<3)+ch-'0';return x*f;
}int Pow(int x, int t)
{int res=1;while (t) t&1?res=1ll*res*x%P:0, x=1ll*x*x%P, t>>=1;return res;
}int main()
{int n=read(), m=read(), t=Pow(2, n), p=1; A[0]=1; F[F[1]=0]=1;for (int i=1; i<=m; i++) A[i]=1ll*A[i-1]*(t-i)%P, p=1ll*p*i%P;for (int i=2; i<=m; i++) F[i]=(A[i-1]-F[i-1]-1ll*F[i-2]*(i-1)%P*(t-i+1)%P)%P;printf("%d\n", ((1ll*F[m]*Pow(p, P-2)%P)+P)%P);return 0;
}

转载于:https://www.cnblogs.com/ACMSN/p/10742980.html

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