前言

接上篇博客 Joint Tx-Rx Beamforming Design for Multicarrier MIMO Channels: A Unified Framework (1)。

发射机设计

在上文中我们讲到了，对发射机的设计可以表示为如下问题：

min⁡Bf0(d(E(B)))s.t. Tr⁡(BBH)≤PT\begin{array}{ll} \min _{\mathbf{B}} & f_{0}(\mathbf{d}(\mathbf{E}(\mathbf{B}))) \\ \text { s.t. } & \operatorname{Tr}\left(\mathbf{B B}^{H}\right) \leq P_{T} \end{array} minB s.t. f0(d(E(B)))Tr(BBH)≤PT

其中，d(E(B))\mathbf{d}(\mathbf{E}(\mathbf{B}))d(E(B))代表由MSE矩阵对角元素所组成的向量。MSE矩阵在接收机采用MMSE接收时，可表示为：E(B)=(I+BHRHB)−1\mathbf{E}(\mathbf{B})=\left(\mathbf{I}+\mathbf{B}^{H} \mathbf{R}_{H} \mathbf{B}\right)^{-1}E(B)=(I+BHRHB)−1。(RHk≜HkHRnk−1Hk\mathbf{R}_{H_{k}} \triangleq \mathbf{H}_{k}^{H} \mathbf{R}_{n_{k}}^{-1} \mathbf{H}_{k}RHk≜HkHRnk−1Hk) B\mathbf{B}B的维度为 nt×Ln_t\times Lnt×L，分别代表发送天线数和数据流数。令Lˇ≜min⁡(L,rank⁡(RH))\check{L} \triangleq \min \left(L, \operatorname{rank}\left(\mathbf{R}_{H}\right)\right)Lˇ≜min(L,rank(RH))。

那么，有如下关键定理：

若f0f_0f0为Schur-凹函数，则最优解为：
B=UH,1ΣB,1\mathbf{B}=\mathbf{U}_{H, 1} \boldsymbol{\Sigma}_{B, 1} B=UH,1ΣB,1
其中，UH,1\mathbf{U}_{H, 1}UH,1为RH\mathbf{R}_{H}RH的最大的Lˇ\check{L}Lˇ个特征向量组成的矩阵，维度为 nt×Lˇn_t\times\check{L}nt×Lˇ。ΣB,1=[0diag⁡({σB,i})]∈CLˇ×L\boldsymbol{\Sigma}_{B, 1}=\left[\mathbf{0} \operatorname{diag}\left(\left\{\sigma_{B, i}\right\}\right)\right] \in \mathbb{C}^{\check{L} \times L}ΣB,1=[0diag({σB,i})]∈CLˇ×L。也就是说，B\mathbf{B}B的最优解由特征向量组成。
若f0f_0f0为Schur-凸函数，则最优解为：
B=UH,1ΣB,1VBH\mathbf{B}=\mathbf{U}_{H, 1} \boldsymbol{\Sigma}_{B, 1} \mathbf{V}_{B}^{H} B=UH,1ΣB,1VBH
其中，VB\mathbf{V}_{B}VB是一个酉矩阵，负责令MSE矩阵E\mathbf{E}E的所有对角元素相等。(这个矩阵可以由引文中的算法确定)

这是一个很重要的结论，揭示了绝大部分常见的通信系统指标的最优解结构。我们先抛砖引玉，接下来我们详述Schur-凸函数的定义。

Schur-凸

对于一个降序排列的向量，即
x[1]≥⋯≥x[n]x_{[1]} \geq \cdots \geq x_{[n]} x[1]≥⋯≥x[n]
那么，如果有：
∑i=1kx[i]≤∑i=1ky[i],1≤k≤n−1∑i=1nx[i]=∑i=1ny[i]\begin{aligned} &\sum_{i=1}^{k} x_{[i]} \leq \sum_{i=1}^{k} y_{[i]}, \quad 1 \leq k \leq n-1 \\ &\sum_{i=1}^{n} x_{[i]}=\sum_{i=1}^{n} y_{[i]} \end{aligned} i=1∑kx[i]≤i=1∑ky[i],1≤k≤n−1i=1∑nx[i]=i=1∑ny[i]
则记为： x≺y\mathbf{x} \prec \mathbf{y}x≺y。这也被称为y\mathbf{y}y majorize x\mathbf{x}x。

那么，对于函数ϕ\phiϕ，如果：
x≺y⇒ϕ(x)≤ϕ(y)\mathbf{x} \prec \mathbf{y} \Rightarrow \phi(\mathbf{x}) \leq \phi(\mathbf{y}) x≺y⇒ϕ(x)≤ϕ(y)
则称ϕ\phiϕ为Schur-凸函数。反之，当：
x≺y⇒ϕ(x)≥ϕ(y)\mathbf{x} \prec \mathbf{y} \Rightarrow \phi(\mathbf{x}) \geq \phi(\mathbf{y}) x≺y⇒ϕ(x)≥ϕ(y)
则称之为Schur-凹函数。

对于majorize，这里作者给出了几个将要用到的例子:

对于n×nn\times nn×n共轭对称矩阵R\mathbf{R}R，其对角线元素组成的向量d\mathbf{d}d和特征值组成的向量λ\boldsymbol{\lambda}λ （均降序排列）有：
d≺λ.\mathbf{d} \prec \boldsymbol{\lambda} . d≺λ.

证明：考察 tr(AHRA)\mathrm{tr}(\mathbf{A}^H\mathbf{R}\mathbf{A})tr(AHRA)，其中AHA=I\mathbf{A}^H\mathbf{A}=\mathbf{I}AHA=I，A\mathbf{A}A为n×mn\times mn×m维矩阵。这是经典的瑞丽熵形式，因此：
∑i=1mλi=max⁡Atr(AHRA)\sum_{i=1}^m\lambda_i=\max_\mathbf{A}\mathrm{tr}(\mathbf{A}^H\mathbf{R}\mathbf{A}) i=1∑mλi=Amaxtr(AHRA)
显然，存在A=[I0]\mathbf{A}=[\mathbf{I} \quad 0]A=[I0]，使得tr(AHRA)\mathrm{tr}(\mathbf{A}^H\mathbf{R}\mathbf{A})tr(AHRA)恰为R\mathbf{R}R的前mmm个对角元素之和。因此，对于任意mmm，始终有：
∑i=1mdi≤∑i=1mλi\sum_{i=1}^m d_i \le \sum_{i=1}^m\lambda_ii=1∑mdi≤i=1∑mλi
又因为
tr(R)=∑i=1ndi=∑i=1nλi\mathrm{tr}(\mathbf{R})= \sum_{i=1}^n d_i = \sum_{i=1}^n\lambda_itr(R)=i=1∑ndi=i=1∑nλi
因此得证。

对于降序排列的nnn维向量x\mathbf{x}x，∑i=1nxi=n\sum_{i=1}^nx_i=n∑i=1nxi=n，那么显然有：
1≺x\mathbf{1} \prec \mathbf{x} 1≺x
1\mathbf{1}1为全111向量。这个很容易证明，就不再展开了。

定理的意义

回到一开始介绍的定理，那么：

当f0f_0f0为Schur-凹时，
B=UH,1ΣB,1\mathbf{B}=\mathbf{U}_{H, 1} \boldsymbol{\Sigma}_{B, 1} B=UH,1ΣB,1
此时不难发现：BHRHB\mathbf{B}^{H} \mathbf{R}_{H} \mathbf{B}BHRHB退化为一个对角阵。因此，MSE矩阵E(B)=(I+BHRHB)−1\mathbf{E}(\mathbf{B})=\left(\mathbf{I}+\mathbf{B}^{H} \mathbf{R}_{H} \mathbf{B}\right)^{-1}E(B)=(I+BHRHB)−1也变成了一个对角阵。类似地，也可以发现接收机A\mathbf{A}A也将是一个对角阵。这就说明，对于这一类目标函数，最优的发送策略就是将等效矩阵对角化。此时，接收得到的信号可以写为：

x^=(I+ΣB,1HDH,1ΣB,1)−1ΣB,1HDH,11/2(DH,11/2ΣB,1x+w)\hat{\mathbf{x}}=\left(\mathbf{I}+\boldsymbol{\Sigma}_{B, 1}^{H} \mathbf{D}_{H, 1} \boldsymbol{\Sigma}_{B, 1}\right)^{-1} \boldsymbol{\Sigma}_{B, 1}^{H} \mathbf{D}_{H, 1}^{1 / 2}\left(\mathbf{D}_{H, 1}^{1 / 2} \boldsymbol{\Sigma}_{B, 1} \mathbf{x}+\mathbf{w}\right) x^=(I+ΣB,1HDH,1ΣB,1)−1ΣB,1HDH,11/2(DH,11/2ΣB,1x+w)
因此MSE矩阵也可以表示为：
MSE⁡i={1,1≤i≤L011+σB,(i−L0)2λH,(i−L0),L0<i≤L\operatorname{MSE}_{i}= \begin{cases}1, & 1 \leq i \leq L_{0} \\ \frac{1}{1+\sigma_{B,\left(i-L_{0}\right)}^{2} \lambda_{H,\left(i-L_{0}\right)}}, & L_{0}<i \leq L\end{cases} MSEi={1,1+σB,(i−L0)2λH,(i−L0)1,1≤i≤L0L0<i≤L
这样一来，一个复杂的矩阵优化问题，就被退化成了一个标量问题，大大简化了求解。

另一方面，对于Schur-凸的f0f_0f0，此时 B=UH,1ΣB,1VBH\mathbf{B}=\mathbf{U}_{H, 1} \boldsymbol{\Sigma}_{B, 1} \mathbf{V}_{B}^{H} B=UH,1ΣB,1VBH
代入可以得到，等效信道AHHB\mathbf{A}^H\mathbf{H}\mathbf{B}AHHB是如下形式：
AHHB=VΛVH\mathbf{A}^H\mathbf{H}\mathbf{B} = \mathbf{V}\boldsymbol{\Lambda}\mathbf{V}^HAHHB=VΛVH
且对应的MSE矩阵拥有相等的对角元素 (尽管MSE矩阵本身并不再是一个对角阵)，那么：

MSEi=1LTr⁡(E)=1L(L0+∑j=1Lˇ11+σB,j2λH,j)\begin{aligned} \mathrm{MSE}_{i} &=\frac{1}{L} \operatorname{Tr}(\mathbf{E}) \\ &=\frac{1}{L}\left(L_{0}+\sum_{j=1}^{\check{L}} \frac{1}{1+\sigma_{B, j}^{2} \lambda_{H, j}}\right) \end{aligned} MSEi=L1Tr(E)=L1⎝⎛L0+j=1∑Lˇ1+σB,j2λH,j1⎠⎞
因此仍可以将优化问题转化为标量问题。

无论对Schur-凸还是Schur-凹,在作者给出的这套框架下，我们均只需要对ΣB,1\boldsymbol{\Sigma}_{B, 1}ΣB,1矩阵的标量对角元素进行优化即可。这也正是本文的最大意义。

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