前言

这篇博客是对经典paper Joint Tx-Rx Beamforming Design for Multicarrier MIMO Channels: A Unified Framework for Convex Optimization 的摘记，文中通过作者给出的Schur-convex函数的概念，将不同的beamforming指标都与MSE关联，并可以通过统一的框架进行求解。这是一篇内容非常充实且经典的文章。

系统模型与接收机设计

文章考虑的是单用户点对点的宽带场景，其接收天线上的信号模型可以建模为：
yk=Hksk+nk\mathbf{y}_{k}=\mathbf{H}_{k} \mathbf{s}_{k}+\mathbf{n}_{k} yk=Hksk+nk
其中sk=Bkxk\mathbf{s}_{k}=\mathbf{B}_{k} \mathbf{x}_{k}sk=Bkxk。经过接收机均衡后，得到:
x^k=AkHyk\hat{\mathbf{x}}_{k}=\mathbf{A}_{k}^{H} \mathbf{y}_{k} x^k=AkHyk
考察其MSE矩阵：
Ek(Bk,Ak)≜E[(x^k−xk)(x^k−xk)H]=AkHRykAk+I−AkHHkBk−BkHHkHAk\begin{aligned} \mathbf{E}_{k}\left(\mathbf{B}_{k}, \mathbf{A}_{k}\right) & \triangleq \mathbb{E}\left[\left(\hat{\mathbf{x}}_{k}-\mathbf{x}_{k}\right)\left(\hat{\mathbf{x}}_{k}-\mathbf{x}_{k}\right)^{H}\right] \\ &=\mathbf{A}_{k}^{H} \mathbf{R}_{y_{k}} \mathbf{A}_{k}+\mathbf{I}-\mathbf{A}_{k}^{H} \mathbf{H}_{k} \mathbf{B}_{k}-\mathbf{B}_{k}^{H} \mathbf{H}_{k}^{H} \mathbf{A}_{k} \end{aligned} Ek(Bk,Ak)≜E[(x^k−xk)(x^k−xk)H]=AkHRykAk+I−AkHHkBk−BkHHkHAk
因此，第iii个流所对应的MSE可以写为:
MSE⁡k,i(Bk,ak,i)=[Ek]ii=ak,iHRykak,i+1−ak,iHHkbk,i−bk,iHHkHak,i\begin{aligned} \operatorname{MSE}_{k, i}\left(\mathbf{B}_{k}, \mathbf{a}_{k, i}\right) =\left[\mathbf{E}_{k}\right]_{i i} =\mathbf{a}_{k, i}^{H} \mathbf{R}_{y_{k}} \mathbf{a}_{k, i}+1-\mathbf{a}_{k, i}^{H} \mathbf{H}_{k} \mathbf{b}_{k, i}-\mathbf{b}_{k, i}^{H} \mathbf{H}_{k}^{H} \mathbf{a}_{k, i} \end{aligned}MSEk,i(Bk,ak,i)=[Ek]ii=ak,iHRykak,i+1−ak,iHHkbk,i−bk,iHHkHak,i
这里我们以最小化所有MSE⁡k,i\operatorname{MSE}_{k, i}MSEk,i为目标进行接收机设计。需要注意的是，在后文中作者将说明，其他的常见指标，如SNR，BER等，都可以视为是MSE的函数，因此以最小化MSE为目标进行的接收机设计是没有问题的。
另一方面，注意到MSE是接收矩阵A\mathbf{A}A的凸函数，因此，在给定B\mathbf{B}B时，A\mathbf{A}A是可以求得最优解的。因此，我们可以求取A\mathbf{A}A在给定B\mathbf{B}B时的最优解，再将其作为B\mathbf{B}B的函数代回，将原问题转化为B\mathbf{B}B的单变量问题。这样做是不会损失最优性的，因为A\mathbf{A}A取到的是闭式解。

因此，我们通过求解如下优化问题来获得A\mathbf{A}A的最优解：
min⁡Ak∗cHEk(Bk,Ak)c,∀c\min _{\mathbf{A}_{k}^{*}} \mathbf{c}^{H} \mathbf{E}_{k}\left(\mathbf{B}_{k}, \mathbf{A}_{k}\right) \mathbf{c}, \quad \forall \mathbf{c} Ak∗mincHEk(Bk,Ak)c,∀c
注意，这里c\mathbf{c}c为 canonical base，不同的canonical base对应cHEk(Bk,Ak)c,∀c\mathbf{c}^{H} \mathbf{E}_{k}\left(\mathbf{B}_{k}, \mathbf{A}_{k}\right) \mathbf{c}, \quad \forall \mathbf{c}cHEk(Bk,Ak)c,∀c为Ek\mathbf{E}_kEk的不同对角元素。我们要使得所有对角元素均最小化。对目标函数求梯度并置为0，得到：
∇Ak∗Tr⁡(EkccH)=RykAkccH−HkBkccH=0,∀c\nabla_{\mathbf{A}_{k}^{*}} \operatorname{Tr}\left(\mathbf{E}_{k} \mathbf{c c}^{H}\right)=\mathbf{R}_{y_{k}} \mathbf{A}_{k} \mathbf{c c}{ }^{H}-\mathbf{H}_{k} \mathbf{B}_{k} \mathbf{c c}^{H}=\mathbf{0}, \quad \forall \mathbf{c} ∇Ak∗Tr(EkccH)=RykAkccH−HkBkccH=0,∀c
其中Ryk≜E[ykykH]=HkBkBkHHkH+Rnk\mathbf{R}_{y_{k}} \triangleq \mathbb{E}\left[\mathbf{y}_{k} \mathbf{y}_{k}^{H}\right]=\mathbf{H}_{k} \mathbf{B}_{k} \mathbf{B}_{k}^{H} \mathbf{H}_{k}^{H}+\mathbf{R}_{n_{k}}Ryk≜E[ykykH]=HkBkBkHHkH+Rnk。Rnk\mathbf{R}_{n_{k}}Rnk为噪声的协方差矩阵。由于要求对所有c\mathbf{c}c均成立，那么就必须有：
RykAk=HkBk\mathbf{R}_{y_{k}} \mathbf{A}_{k} = \mathbf{H}_{k} \mathbf{B}_{k} RykAk=HkBk
因此，
Akopt =(HkBkBkHHkH+Rnk)−1HkBk\mathbf{A}_{k}^{\text {opt }}=\left(\mathbf{H}_{k} \mathbf{B}_{k} \mathbf{B}_{k}^{H} \mathbf{H}_{k}^{H}+\mathbf{R}_{n_{k}}\right)^{-1} \mathbf{H}_{k} \mathbf{B}_{k} Akopt =(HkBkBkHHkH+Rnk)−1HkBk
这其实就是我们所非常熟知的维纳滤波器。值得注意的是，它不仅仅最小化了所有流的MSE之和，事实上它其实将每一流各自的MSE值均最小化了。

发射机设计问题

此时，将求得的维纳滤波器结果代入MSE中，得到:
Ek(Bk)≜Ek(Bk,Akopt)=I−BkHHkH(HkBkBkHHkH+Rnk)−1HkBk=(I+BkHRHkBk)−1\begin{aligned} \mathbf{E}_{k}\left(\mathbf{B}_{k}\right) & \triangleq \mathbf{E}_{k}\left(\mathbf{B}_{k}, \mathbf{A}_{k}^{\mathrm{opt}}\right) \\ &=\mathbf{I}-\mathbf{B}_{k}^{H} \mathbf{H}_{k}^{H}\left(\mathbf{H}_{k} \mathbf{B}_{k} \mathbf{B}_{k}^{H} \mathbf{H}_{k}^{H}+\mathbf{R}_{n_{k}}\right)^{-1} \mathbf{H}_{k} \mathbf{B}_{k} \\ &=\left(\mathbf{I}+\mathbf{B}_{k}^{H} \mathbf{R}_{H_{k}} \mathbf{B}_{k}\right)^{-1} \end{aligned} Ek(Bk)≜Ek(Bk,Akopt)=I−BkHHkH(HkBkBkHHkH+Rnk)−1HkBk=(I+BkHRHkBk)−1
其中，RHk≜HkHRnk−1Hk\mathbf{R}_{H_{k}} \triangleq \mathbf{H}_{k}^{H} \mathbf{R}_{n_{k}}^{-1} \mathbf{H}_{k}RHk≜HkHRnk−1Hk。注意到，根据逆矩阵对角元素的求解，我们有:
MSE⁡k,i=[(I+BkHHkHRnk−1HkBk)−1]ii=11+bk,iHHkHRk,i−1Hkbk,i\begin{aligned} \operatorname{MSE}_{k, i} &=\left[\left(\mathbf{I}+\mathbf{B}_{k}^{H} \mathbf{H}_{k}^{H} \mathbf{R}_{n_{k}}^{-1} \mathbf{H}_{k} \mathbf{B}_{k}\right)^{-1}\right]_{i i} \\ &=\frac{1}{1+\mathbf{b}_{k, i}^{H} \mathbf{H}_{k}^{H} \mathbf{R}_{k, i}^{-1} \mathbf{H}_{k} \mathbf{b}_{k, i}} \end{aligned} MSEk,i=[(I+BkHHkHRnk−1HkBk)−1]ii=1+bk,iHHkHRk,i−1Hkbk,i1
这一推导过程放在了上一篇博客置换矩阵的应用：逆矩阵的对角线元素求法之中。另一方面我们注意到，第iii个流对应的SINR可以表示为：
SINR⁡k,i≜∣ak,iHHkbk,i∣2ak,iHRk,iak,i≤bk,iHHkHRk,i−1Hkbk,i\operatorname{SINR}_{k, i} \triangleq \frac{\left|\mathbf{a}_{k, i}^{H} \mathbf{H}_{k} \mathbf{b}_{k, i}\right|^{2}}{\mathbf{a}_{k, i}^{H} \mathbf{R}_{k, i} \mathbf{a}_{k, i}} \leq \mathbf{b}_{k, i}^{H} \mathbf{H}_{k}^{H} \mathbf{R}_{k, i}^{-1} \mathbf{H}_{k} \mathbf{b}_{k, i} SINRk,i≜ak,iHRk,iak,i∣∣∣ak,iHHkbk,i∣∣∣2≤bk,iHHkHRk,i−1Hkbk,i
其中Rk,i≜HkBkBkHHkH+Rnk−Hkbk,ibk,iHHkH\mathbf{R}_{k, i} \triangleq \mathbf{H}_{k} \mathbf{B}_{k} \mathbf{B}_{k}^{H} \mathbf{H}_{k}^{H}+\mathbf{R}_{n_{k}}-\mathbf{H}_{k} \mathbf{b}_{k, i} \mathbf{b}_{k, i}^{H} \mathbf{H}_{k}^{H} Rk,i≜HkBkBkHHkH+Rnk−Hkbk,ibk,iHHkH
代表干扰噪声项。不等号源自于柯西施瓦茨不等式，当ak,i∝Rk,i−1Hkbk,i\mathbf{a}_{k, i} \propto \mathbf{R}_{k, i}^{-1} \mathbf{H}_{k} \mathbf{b}_{k, i}ak,i∝Rk,i−1Hkbk,i取到等号。此时注意到，
Rk,i≜Ryk−Hkbk,ibk,iHHkH\mathbf{R}_{k, i} \triangleq \mathbf{R}_{y_{k}}-\mathbf{H}_{k} \mathbf{b}_{k, i} \mathbf{b}_{k, i}^{H} \mathbf{H}_{k}^{H} Rk,i≜Ryk−Hkbk,ibk,iHHkH
利用求逆公式，
(A+xyH)−1=A−1−A−1xyHA−11+yHA−1x\left(\boldsymbol{A}+\boldsymbol{x} \boldsymbol{y}^{\mathrm{H}}\right)^{-1}=\boldsymbol{A}^{-1}-\frac{\boldsymbol{A}^{-1} \boldsymbol{x} \boldsymbol{y}^{\mathrm{H}} \boldsymbol{A}^{-1}}{1+\boldsymbol{y}^{\mathrm{H}} A^{-1} \boldsymbol{x}} (A+xyH)−1=A−1−1+yHA−1xA−1xyHA−1
我们不难得到，当B\mathbf{B}B给定时：
Rk,i−1Hkbk,i∝Ryk−1Hkbk,i\mathbf{R}_{k, i}^{-1} \mathbf{H}_{k} \mathbf{b}_{k, i} \propto\mathbf{R}_{y_{k}}^{-1} \mathbf{H}_{k} \mathbf{b}_{k, i} Rk,i−1Hkbk,i∝Ryk−1Hkbk,i
而后者则正是维纳滤波器！这也就是说， 以最大化SINR为目标的接收机设计，其结果恰对应与以MMSE为目标的接收机设计！

同时注意到，此时SINR取到的最大值，恰好满足:
SINR⁡k,i=1MSE⁡k,i−1\operatorname{SINR}_{k, i}=\frac{1}{\operatorname{MSE}_{k, i}}-1 SINRk,i=MSEk,i1−1
这也正是为什么作者一直强调，对于不同的指标，均可看成是MSE的函数的原因。例如，误码率可以表示为：
Pe(SINR)=αQ(βSINR)P_{e}(\mathrm{SINR})=\alpha \mathcal{Q}(\sqrt{\beta \mathrm{SINR}}) Pe(SINR)=αQ(βSINR)
而SINR是MSE的函数，那么误码率自然也是了。

在下一篇中，我们将讨论，对不同的MSE的函数 (对应于SINR，误码率等)，如何进行对发射机B\mathbf{B}B的优化。

注：对于MIMO系统，速率通过对这个MIMO信道使用logdet()logdet()logdet()求取，和通过将所有流视为多个SISO信道，将每个信道的速率求和。其结果会一致吗？

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