【实例简介】

在计算物理运用matlab软件进行编程，从而有效处理单摆模型，得到从周期运动到混沌图像

椭圆点:坐标原点(6=0,d0t=0),对

分界线

应K=V=E0,单摆的静止平衡点,附近

轨线为圆形或椭圆形的闭合轨道,轨道上

各点能量相等(等能轨道)

双曲奇点(鞍点):单摆倒置平衡点(O=

vO

士丌,O6/t=0),附近相轨线为双曲线

分界线:从0=-丌,d/dt=0到0=

丌,O/Ot=0或相反的连线

十丌

E

E≥max(V),轨线在分界线以外,轨道不闭合,单摆作旋转运动

3柱面上的单摆相轨线

相图横坐标是以2丌为周期的,

摆角土丌是单摆的同一个倒立位

双曲点

6-±

椭圆点

置,把相图上G点与G点重迭

起时,就把相平面卷缩成一个柱

面。所有相轨线都将呈现在柱面

上

2.有阻尼无驱动情况

此时≠0,f=0,方程是

explor

d20

de

+23,+sin6=0

有阻尼时,由于能量被消耗,单摆振动

的振幅会逐渐变小

有阻尼单摆的相图

能量耗散使相轨线矢径对数衰

减。无论从那点出发,经若干

次旋转后趋向坐标原点,原点称

为吸引子,它把相空间的点吸引

过来,原点又称不动点。

任意振幅下的相图

1.整个相平面被通过鞍点G与G的轨线分成三个区域

2.在坐标原点附近轨线由于单摆振幅不断减小而形成向内旋转

3鞍点的位置仍在G与G处

运动单摆从倒立开始运动后,由于

能量耗散达不到原有高度。

+1(

轨线从一个鞍点出发到不了另一鞍

点,分界线被破坏了

十元

相流所有中间区域的相点流向坐标

原点。原点是该区域的不动点,是该

区域吸引子。左右两个区域也有相应

的吸引子,它们分别处在该图左(-2丌

多多

)和右(+2丌)两侧

3.有阻尼有驱动情况

此时有≠0.,f≠0下面的计算取β=1/4,=2/3),方程是

20

2+2B*4+sin 0-f cos wt

为了构成单摆的三维相空间,将它化成三个方程:

do

dt

dt

dt sin b+f cos wt

用三个变量0,p,9组成三维相空间,相

角p有周期性,把2mm和2(m+1)丌平面连接

起来,相空间形成一个轮胎面。原来园形

2+1元y

Cn

轨线成了在轮胎面上的环绕线

在轮胎面上作截面(庞加莱截面),轨线

穿过它会留下一个点,它对应取某个常

位相值时,在θ,平面上的相点

3.1极限环吸引子

当驱动力较小时,如f=0.8,从不同的

初始条件出发,经过长时间运动最终都

落到同一个椭圆上。称之为极限环

左图初始条件是0=-2,O/t=2,

1.4

轨线由外向内旋转到极限环

右图初始条件是θ

de dl

4

1.74

0.2,轨线由内向外旋转到极限环

3.2对称性破缺

当∫=1.03,从不同的初条件出发,得

到不同的蛋形的吸引子,它们左右反

射对称,原来的左右对称性被破坏。4

左图初始条件是0=-0.1,0/t=2,

1登

在庞加莱截面仍然是一个点

右图初始条件是O=-0.8,d0t=2

在庞加菜截面仍然是一个点

161B1别U

33倍周期分岔与混沌

0

age

2

94

155

1

19

1

161

晶边2自

f=1.65

f=1.082,

=1.088

倍周期分岔,

4周期分岔

出现混沌

计算中取0=-0.8,l0/=2。

34相图与庞加莱截面程序

这个程序主要学习相图与截面图的画法

function byd

LegATO

f

u=2/3;a=0.5;因Q=3*pi;f=1.089;

[T,Y=ode45(@dby,[0:zQ/200:500*2Q,[-0.8,2]);

figure

p1ot(Y(31000:end,1),Y(31000:end,2))

figure

forj=40001:200:1 ength(Y(1:end,1)-1

xX=LXX, Y(j, 1)1

yy=[yy,Y(j,2)];

end

p1ot(x,yy,’,r2)

function dot=dby (t, y)

global a f

ydot=Ly(2)

sin(y(1))-a*y(2)+f*Co8(u*)];

35大摆角单摆程序

学习事件开关函数的用法

function diddb

figure

axiS([-88-22])

hold on

%标注文字

p1ot([4.5,5.2],[0.8,0.8],’g2,[4.5,5.2],[0,O],

r),[4.5,5.2],[0.8~-0.8],b2)

七ext(5.3,0.8,E<2mg1);

text(5.3,0,E=2mg13);

text(53,-0.8,2E>2mg1)

xlabel(0); ylabel('d edt,)

%能量方程

ydot=inline('sqrt(abs(E-1+Cos(x)))2,'x, 'E,)

e=[3,2.5,2,1.5,1,0.5,0.3,0.1];

%不同能量下的相图

for k=1: 8

ifk>3%对应E<2mg

Qlk]=acos(1-e(k))

X=linspace(-Qtk, Qtk], 300)

y=dot(x, e(k))

plot(X,y,'g,X,y,'g)

e] seif k==3%对应E=2mg1

X=linspace(-2*pi, 2*pi, 300)

y=dot(x,e(k))

plot(X,y,r,,X,y, ',)

else

%对应e>2mg1

X=linspace(-2*pi, 2*pi, 300)

y=dot(x, e(k))

p1ot(x,y,b,X,-y,b’)

end

end hold off

%解不同初始角度下的微分方程

[七1,1]=ode45(f,[0:0.001:6],[pi/7,0],[);

[t2,w2]=ode45(@f,[0:0.001:6],[pi/3,0],[])

%画不同角度下的波形图

figure

plot(七1,W1(:,1),t2,W2(:,1));

x1abe1(时间);y1abe1(摆角’);

legend()小摆角’,大摆角);

%画周期与摆角的关系

theta=linspace(pi/360, pi-01, 40)

options= odeset( Events, Events);%开启事件判断功能

%解不同的初始角度下的周期值

fori=1:40;

[,u]=ode45(@f,[O:0.001:20],[hea(i),0], options);

T=[T,2*t(end)];

end

figure plot(theta, T)

七i1e()周期与摆角的关系);

x]abe1(摆角’);y1abe1(周期);

function dot=f(t, y)

dot=Ly(2);

9.8*sin(y(1))];

function [value, isterminal, direction]=events(t, y)

value=y(2)

isterminal=1: direction=1

第五节倒摆与杜芬方程

1.倒摆实

11倒摆实验演示

1.2倒摆的简化模型与运动方程

倒摆可以简化成右图的模型,它的运动

以用杜芬方程描述

de dx

+h

+r

cos wt

改变运动阻尼,可以演示运动状态从

周期解到混沌的变化

3.杜芬 Duffing)方程

下面用波形图,相图,频谱图和庞加莱截面图(map图)研究系统的运

动

3.1无阻尼无驱动情形

x+x3=0

积分得

1/da

所以势能是

4

这时有三个平衡点,x=0(不稳定叶

平衡点)x=±1(是稳定平衡点)

【实例截图】

【核心代码】