Luenberger Observer线性观测器设计

观测器

1.观测器设计动机

对于一个系统x˙=Ax+Bu\dot{x} = Ax + Bux˙=Ax+Bu 设计状态反馈u=−kxu = -kxu=−kx 通过设计kkk可以保证系统的稳定性，但是前提是系统的状态xxx可测。当系统的状态不可测的时候，就要设计观测器来观测系统的状态。
观测器：根据系统的输入输出来估计系统的状态。

2.Luenberger Observer线性观测器

对于一个控制系统x˙=Ax+Buy=Cx+Du\dot{x} = Ax + Bu \\ y = Cx + Dux˙=Ax+Buy=Cx+Du x^\hat{x}x^为系统的状态估计值，y^\hat{y}y^为系统的输出估计值，Luenberger观测器的形式为x^˙=Ax^+Bu+L(y−y^)y=Cx^+Du\dot{\hat{x}} = A\hat{x} + Bu + L(y - \hat{y}) \\y = C\hat{x} + Dux^˙=Ax^+Bu+L(y−y^)y=Cx^+Du 对上式进行变形x^˙=Ax^+Bu+Ly−LCx^−LDu=(A−LC)x^+Ly+(B−LD)u=(A−LC)x^+LCx+Bu\begin{aligned} \dot{\hat{x}} &= A\hat{x} + Bu + Ly - LC\hat{x} -LDu \\ &= (A - LC)\hat{x} + Ly + (B - LD)u \\ &= (A - LC)\hat{x} + LCx +Bu \end{aligned}x^˙=Ax^+Bu+Ly−LCx^−LDu=(A−LC)x^+Ly+(B−LD)u=(A−LC)x^+LCx+Bu 令e˙=x˙−x^˙\dot{e} = \dot{x} - \dot{\hat{x}}e˙=x˙−x^˙有e˙=Ax−(A−LC)x^−LCx=(A−LC)(x−x^)=(A−LC)e\begin{aligned}\dot{e} &= Ax -(A - LC)\hat{x} - LCx \\ &= (A - LC)(x - \hat{x}) \\&=(A-LC)e \end{aligned}e˙=Ax−(A−LC)x^−LCx=(A−LC)(x−x^)=(A−LC)e 通过合理的配置LLL使得观测的误差eee趋近于0。

3.Example

对于一个弹簧阻尼系统，状态量z1=xz_1 = xz1=x表示位置，是可测的，z2=x˙z_2 = \dot{x}z2=x˙表示速度，不可观测，输出y=z1y = z_1y=z1可测。系统的状态方程可以表示为[z˙1z˙2]=[01−km−Bm][z1z2]+[01m]uy=[10][z1z2]\left[ \begin{matrix} \dot{z}_1 \\ \dot{z}_2\end{matrix} \right] = \left[ \begin{matrix} 0 & 1 \\ -\frac{k}{m} & -\frac{B}{m} \end{matrix} \right]\left[ \begin{matrix} z_1 \\ z_2\end{matrix} \right] + \left[ \begin{matrix} 0 \\ \frac{1}{m} \end{matrix} \right]u \\ y = \left[ \begin{matrix} 1 & 0 \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} z_1 \\ z_2 \end{matrix} \right][z˙1z˙2]=[0−mk1−mB][z1z2]+[0m1]uy=[10][z1z2] 令m=1,B=0.5,k=1m = 1,B = 0.5,k = 1m=1,B=0.5,k=1得到系统的状态空间方程。[z˙1z˙2]=[01−1−12][z1z2]+[01]uy=[10][z1z2]\left[ \begin{matrix} \dot{z}_1 \\ \dot{z}_2\end{matrix} \right] = \left[ \begin{matrix} 0 & 1 \\ -1 & -\frac{1}{2} \end{matrix} \right]\left[ \begin{matrix} z_1 \\ z_2\end{matrix} \right] + \left[ \begin{matrix} 0 \\ 1 \end{matrix} \right]u \\ y = \left[ \begin{matrix} 1 & 0 \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} z_1 \\ z_2 \end{matrix} \right][z˙1z˙2]=[0−11−21][z1z2]+[01]uy=[10][z1z2] 令L=[l1l2]L = \left [ \begin{matrix} l_1 \\ l_2\end{matrix}\right]L=[l1l2]则A−LCA-LCA−LC可以表示为：A−LC=[−l11−1−l2−12]A-LC = \left[ \begin{matrix} -l_1 & 1 \\ -1-l_2 & -\frac{1}{2} \end{matrix} \right]A−LC=[−l1−1−l21−21] 如果想让系统趋近于零，则系统的特征值为负，假定系统的特征值λ1=−1,λ2=−1\lambda_1 = -1,\lambda_2 = -1λ1=−1,λ2=−1求得LLL矩阵L=[1.5−0.75]L = \left[ \begin{matrix} 1.5 \\ -0.75 \end{matrix}\right]L=[1.5−0.75]，设计的观测器为z^˙=[−1.51−0.25−0.5]z^+[01]u+[1.5−0.75]y\dot{\hat{z}} = \left[\begin{matrix} -1.5&1\\-0.25&-0.5\end{matrix}\right] \hat{z} + \left[ \begin{matrix} 0\\1 \end{matrix}\right]u + \left[ \begin{matrix} 1.5\\-0.75 \end{matrix}\right]y z^˙=[−1.5−0.251−0.5]z^+[01]u+[1.5−0.75]y 在simulink中搭建仿真模型。

为了更好的展示估计效果，估计值初始设定为1，实际的值是0，结果如下：

参考B站：DR_CAN