P1967 货车运输题解

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简要题意：

给定一个无向图，若干组询问问 x → y x \rightarrow y x→y 所有路径上最小权值的最大值。

算法一

对于 60 % 60\% 60% 的数据， 1 ≤ n < 1 0 3 ， 1 ≤ m < 5 × 1 0 4 , 1 ≤ q < 1 0 3 1 \le n < 10^3，1 \le m < 5\times 10^4,1 \le q< 10^3 1≤n<103，1≤m<5×104,1≤q<103

如果您有网络流板子的话，可以认为，本题是 给定网络图，若干组流量询问，直接 ISAP \text{ISAP} ISAP 乱跑就可以得到 O ( q n m ) O(qnm) O(qnm) 的优秀时间，轻松得到 60 p t s 60pts 60pts 及以上。（网络流算法时间跑不满）

说句闲话：这题网络流怎么优化

时间复杂度： O ( q n m ) O(qnm) O(qnm). 期望得分： 60 p t s 60pts 60pts. 实际得分 100pts

算法二

对于 100 % 100\% 100% 的数据， 1 ≤ n < 1 0 4 , 1 ≤ m < 5 × 1 0 4 , 1 ≤ q < 3 × 1 0 4 , 0 ≤ z ≤ 1 0 5 1 \le n < 10^4 , 1 \le m < 5\times 10^4 , 1 \le q< 3\times 10^4 , 0 \le z \le 10^5 1≤n<104,1≤m<5×104,1≤q<3×104,0≤z≤105.

首先，我们考虑的是，如果， x → u ( w 1 ) x \rightarrow u (w_1) x→u(w1) ， u → v ( w 2 ) u \rightarrow v (w_2) u→v(w2) ，与 x → v ( w 3 ) x \rightarrow v (w_3) x→v(w3) 同时存在的话，如果 min ⁡ ( w 1 , w 2 ) ≤ w 3 \min(w_1,w_2) \leq w_3 min(w1,w2)≤w3，可以直接把 w 3 w_3 w3 扔掉；走的时候肯定是走 x → w → v x \rightarrow w \rightarrow v x→w→v 了。

那么，我们得到了网络流的贪心算法显然，我们需要对每一组 x → y x \rightarrow y x→y 都把这样的废边去掉。

嗯？所以我们要把所有 x → y x \rightarrow y x→y 的最大路径取出来，对吧？

那么，最大生成树 就映入我们眼帘：显然这是 最大生成树重构图 ！

求最大生成树并只留下这个树上的边（重构），那么 x → y x \rightarrow y x→y 肯定是最大路径（不然肯定换边了）。

那么如何应对询问？显然，我们在 树上求两点路径 用 LCA \text{LCA} LCA 操作即可。

注意细节。

时间复杂度： O ( n log ⁡ n + q log ⁡ n + m ) O(n \log n + q \log n + m) O(nlogn+qlogn+m).

实际得分： 100 p t s 100pts 100pts.

#pragma GCC optimize(2)
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;const int N=1e5+1;inline int read(){char ch=getchar(); int f=1;while(ch<'0' || ch>'9') {if(ch=='-') f=-f; ch=getchar();}int x=0;while(ch>='0' && ch<='9') x=(x<<3)+(x<<1)+ch-'0',ch=getchar();return x*f;}struct EE1 {int x,y,dis;} E1[N];
struct E2 {int to,nxt,w;} E2[N];
int head[N],n,m,f[N],deep[N],cnt,q;
int fa[N][21],w[N][21]; bool vis[N];inline void add(int u,int v,int w) {if(u==v) return;E2[++cnt].nxt=head[u];E2[cnt].to=v; E2[cnt].w=w;head[u]=cnt; return;
}inline int find(int x) {return f[x]==x?x:f[x]=find(f[x]);}
inline bool cmp(EE1 x,EE1 y) {return x.dis>y.dis;}inline void kruskal() {sort(E1+1,E1+1+m,cmp);for(int i=1;i<=n;i++) f[i]=i;for(int i=1;i<=m;i++) {int u=E1[i].x,v=E1[i].y,w=E1[i].dis;if(find(u)-find(v)) {f[find(u)]=find(v);add(u,v,w); add(v,u,w);} }
} //最大生成树模板inline void dfs(int u) {vis[u]=1;for(int i=head[u];i;i=E2[i].nxt) {int v=E2[i].to,t=E2[i].w;if(vis[v]) continue;deep[v]=deep[u]+1;fa[v][0]=u; w[v][0]=t;dfs(v);} return;
} //预处理父亲inline int LCA(int x,int y) {if(find(x)-find(y)) return -1;int ans=INT_MAX;if(deep[x]>deep[y]) swap(x,y);for(int i=20;i>=0;i--)if(deep[fa[y][i]]>=deep[x]) ans=min(ans,w[y][i]),y=fa[y][i]; //调整深度if(x==y) return ans;for(int i=20;i>=0;i--)if(fa[x][i]-fa[y][i]) {ans=min(ans,min(w[x][i],w[y][i]));x=fa[x][i]; y=fa[y][i];} //一起跳return min(ans,min(w[x][0],w[y][0])); //最后答案
}int main() {n=read(),m=read();for(int i=1;i<=m;i++) {int u=read(),v=read(),w=read();
//      add(u,v,w); add(v,u,w);E1[i].x=u; E1[i].y=v; E1[i].dis=w;} kruskal();for(int i=1;i<=n;i++)if(!vis[i]) {deep[i]=1; dfs(i);fa[i][0]=i; w[i][0]=INT_MAX;} q=read();for(int i=1;i<=20;i++)for(int j=1;j<=n;j++) {fa[j][i]=fa[fa[j][i-1]][i-1]; //fa[j][i] 为 j 向上走 2^i 个节点到达的节点w[j][i]=min(w[j][i-1],w[fa[j][i-1]][i-1]); //w[j][i] 为 j 向上走 2^i 个节点经过路径的权值最小值} while(q--) printf("%d\n",LCA(read(),read())); return 0;
}

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