1 Hilbert变换

原始信号为s(t)，其离散希尔伯特变换的定义为：

下面是对上述公式的说明。

先让原始信号与：

做卷积，然后一起合并成一个复数信号h(t)，h(t)被称为解析信号。而：

为原始信号s(t)经过希尔伯特变换后的结果。

(我未学过信号处理，也不懂下面的话，但是我感觉下面内容比较重要，所以列出)

希尔伯特变换的结果是给原始信号x(t)提供了一个幅值、频率不变，但相位平移90°的信号xz(n)。所以，希尔伯特变换是从"时域"到"时域"的变换，只改变了相位，所以又叫90°移相滤波器。

2 地震的三瞬属性

三瞬属性是所有其它衍生类属性的基础，三瞬属性包括：

瞬时振幅；
瞬时频率；
瞬时相位。

先引入一些求导公式：

雷达采集的雷达波数据，每个测点对应的雷达道的雷达波信号实际上是复数，即：z(t)=x(t)+i*y(t)，其中x(t)是雷达波信号的实部，y(t)是雷达波信号的虚部。这里x(t)、y(t)分别对应【1 Hilbert变换】一节的公式：

的对应项。三瞬属性的计算公式如下：

瞬时振幅：
瞬时相位：
瞬时频率。瞬时频率是瞬时相位对时间的导数，计算公式如下：

其中：

ε是一个常数，使用ε的目的是增加函数的稳定性(防止分母出现零值)。

三瞬属性主要是利用了Hilbert变换的信号处理方法，其中：

1、瞬时振幅(Instantaneous Amplitude或Envelope)是反射强度的量度，从计算公式来看，就是解析信号的实部与虚部总能量的平方根，主要反映能量上的变化，可以突出特殊岩层的变化。

2、瞬时相位(Instantaneou Phase)是地震剖面上同相轴连续性的量度，无论能量的强弱，它的相位都能显示出来，即使是弱振幅有效波在瞬时相位图上也能很好的显示出来。当波在各向异性的均匀介质中传播时，其相位是连续的；当波在有异常存在的介质中传播时，其相位将在异常位置发生显著变化，在剖面图中明显不连续。因此，当瞬时相位剖面图中出现相位不连续时，就可以判断该处存在分层或异常。

3、瞬时频率(Instantaneou Frequency)是相位的时间变化率，它能够反映组成地层的岩性变化，有助于识别地层。当地震波通过不同介质界面时，频率将会发生明显变化，这种变化在瞬时频率图像剖面中就能显示出来。

总之，对于同一探测对象，三种瞬时信息在同一位置发上明显变化就可能反映探测对象在该处的物性变化。在三个参数中，瞬时相位谱的分辨率最高，而瞬时频率和瞬时振幅谱的变化也较为直观，可以利用这两者来确定地下异常的大概位置，用瞬时相位来确定分层的边界。

最后再总结一下：

瞬时振幅可以突出特殊岩层的变化。
当瞬时相位剖面图中出现相位不连续时，就可以判断该处存在分层或异常。
当地震波通过不同介质界面时，瞬时频率将会发生明显变化。

3 参考文献

1、探地雷达数据处理中的瞬时振幅瞬时频率瞬时相位

2、什么是地震的三瞬属性

3、三瞬属性

4、一维离散希尔伯特变换实现与3瞬属性

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希尔伯特变换与三瞬属性简介

文章目录

1 Hilbert变换

2 地震的三瞬属性

3 参考文献

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