c语言求45678所有非平凡因子,近世代数基础习题课答案到第二章9题

2:GL ()n D ?→ : S A , T B . 直接验证?是群单同态,

而且im G ?=. □

15. 设群G 满足: 存在正整数i 使得对任意,a b G ∈都有()k k k ab a b =, 其

中,1,2k i i i =++. 证明: G 是一个交换群.

证明: 由()i i i ab a b =和111()i i i ab a b +++=得:

111()()()()()i i i i i i ab a b ab ab ab a b +++===, 从而, 1i i i i ba b a b +=, 即:

i i ba a b =.

同理可得: 11i i ba a b ++=. 于是:

11()()i i i i a ba ba a b a ab ++===, 即: ab ba =. □

16. 在群2()SL 中, 证明元素0110a -??= ???的阶为4, 元素1101b --??= ?-??

的阶为3, 而ab 的阶为∞.

证明: 直接验证. □

17. 如果群G 为一个交换群, 证明G 的全体有限阶元素组成一个子

群.

证明: 设{|()}H g G o g =∈

意,a b H ∈, 设()o a m =, ()o b n =, 则1()o b n -=;

11()()mn m n ab a b e --==, 即: 1ab H -∈. □

18. 如果群G 只有有限多个子群, 证明G 是有限群.

证明: 首先证明: 对任意a G ∈有()o a

由k a 生成的子群, 其中, 1k ≥是整数. 则

242m a a a a ????????????? . 由于G 只有有限多个子群, 所以必然存在m 使得2(1)22(2)m m m a a a ++??=??=??= ,

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