凸优化第八章几何问题 8.5中心
8.5中心
- Chebyshev中心
- 最大体积椭球中心
- 不等式组的解析中心
Chebyshev中心
多面体的Chebyshev中心
设C是有线性不等式组定义,如果,则
于是Chebyshev中心可以通过求解线性规划:
最大体积椭球中心
定义C中具有最大体积椭球的中心为C的最大体积椭球中心,记为,如下图。
不等式组的解析中心
一组凸不等式和线性方程的解析中心定义为凸问题
的最优解。这里的优化变量是,并有隐含约束。问题中的目标被称为与不等式相关的对数障碍。
解析中心不是有不等式和等式所描述的集合的函数;两组不等式和等式可能定义相同的集合,但有不同的解析中心。
线性不等式组的解析中心
线性不等式组的解析中心是下面无约束极小化问题的解:
其隐含约束为
可以对线性不等式组的解析中心给予几何解释。因为解析中心对约束函数的正伸缩变换独立,可以不失一般性地假设,在这种情况下,的松弛是到超平面
是的最优解,下图虚线是多面体C的对数障碍函数的五条等值曲线,对数障碍函数的最小值点是。
内部阴影所示的椭球为其中H为对数障碍函数在处的海瑟矩阵。
定义
则有,即总是在P中,而总是覆盖P。与最大体积内接椭球相比,这是一个较弱的结果。
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