现代通信原理10.2：采用匹配滤波器的数字基带传输系统误码性能分析

文章目录

1、匹配滤波器
- 1.1 匹配滤波器定义
- 1.2 匹配滤波器的冲激响应
- 1.3 匹配滤波器的物理可实现性
- 1.4 用相关器来等效匹配滤波器
2、采用匹配滤波器的二进制基带传输系统误码性能分析
- 2.1 系统模型
- 2.2 判决变量yyy的条件概率密度函数
- - （1）发送信号为s1(t)s_1(t)s1(t)时的判决变量
  - （2）发送信号为s2(t)s_2(t)s2(t)时的判决变量
- 2.3 码元错误概率公式推导

在上一节里面，我们讨论了接收滤波器采用低通滤波器，这其实是延续了模拟系统的做法，通过低通滤波器限制进入接收机的噪声功率。但在数字系统里，这并不是最好的做法。所以这一节，我们讨论最佳接收机，也就是匹配滤波器。所以，我们先来看看，什么是匹配滤波器；再用匹配滤波器作为接收滤波器，分析系统的误码性能。

1、匹配滤波器

在图1中，滤波器h(t)h(t)h(t)的输入信号x(t)=s(t)+nw(t)x(t)=s(t)+n_w(t)x(t)=s(t)+nw(t)，其中s(t)s(t)s(t)为有用信号，nw(t)n_w(t)nw(t)为单边功率谱密度为N0N_0N0的加性高斯白噪声；滤波器输出信号为y(t)=x(t)∗h(t)=so(t)+n(t)y(t)=x(t)*h(t)=s_o(t)+n(t)y(t)=x(t)∗h(t)=so(t)+n(t)，这里so(t)=s(t)∗h(t)s_o(t)=s(t)*h(t)so(t)=s(t)∗h(t)，n(t)=nw(t)∗h(t)n(t)=n_w(t)*h(t)n(t)=nw(t)∗h(t)。

图1 匹配滤波器模型图

1.1 匹配滤波器定义

对于输出信号y(t)y(t)y(t)，我们定义在t0t_0t0时刻的输出信噪比为有用信号so(t)s_o(t)so(t)的瞬时功率so2(t0)s^2_o(t_0)so2(t0)与输出噪声n(t)n(t)n(t)的平均功率之比，即
η0=so2(t0)E[n2(t)](1)\tag{1} \eta_0=\frac{s_o^2(t_0)}{E[n^2(t)]} η0=E[n2(t)]so2(t0)(1)在时刻t0t_0t0，能够使输出信噪比η0\eta_0η0最大的线性滤波器，被称为信号s(t)s(t)s(t)的匹配滤波器。

1.2 匹配滤波器的冲激响应

下面我们来推导匹配滤波器的冲激响应h(t)h(t)h(t)与频域传递函数H(f)H(f)H(f)。由于
so(t)=s(t)∗h(t)←→So(f)=S(f)H(f),s_o(t)=s(t)*h(t)\leftarrow \rightarrow S_o(f)=S(f)H(f), so(t)=s(t)∗h(t)←→So(f)=S(f)H(f),有
so(t)=∫−∞∞So(f)ej2πftdf=∫−∞∞S(f)H(f)ej2πftdfs_o(t)=\int_{-\infty}^{\infty}S_o(f)e^{j2\pi f_t}df=\int_{-\infty}^{\infty}S(f)H(f)e^{j2\pi f t}df so(t)=∫−∞∞So(f)ej2πftdf=∫−∞∞S(f)H(f)ej2πftdf因此，可以得到信号so(t)s_o(t)so(t)在t0t_0t0时刻的取值为
so(t0)=∫−∞∞S(f)H(f)ej2πft0df,s_o(t_0)=\int_{-\infty}^{\infty}S(f)H(f)e^{j2\pi f t_0}df, so(t0)=∫−∞∞S(f)H(f)ej2πft0df,其瞬时功率为
so2(t0)=∣∫−∞∞S(f)H(f)ej2πft0df∣2.s^2_o(t_0)={\Large |}\int_{-\infty}^{\infty}S(f)H(f)e^{j2\pi f t_0}df{\Large |}^2. so2(t0)=∣∫−∞∞S(f)H(f)ej2πft0df∣2.对于输出噪声no(t)n_o(t)no(t)，由于n(t)n(t)n(t)的功率谱密度为
PNw(f)=N02,−∞<f<∞P_{N_w}(f)=\frac{N_0}{2},\quad -\infty<f<\infty PNw(f)=2N0,−∞<f<∞因此，滤波器H(f)H(f)H(f)输出噪声n(t)n(t)n(t)的功率谱密度为
PN(f)=N02∣H(f)∣2,P_N(f)=\frac{N_0}{2}|H(f)|^2, PN(f)=2N0∣H(f)∣2,平均功率为PN=∫−∞∞PN(f)dfP_N=\int_{-\infty}^{\infty}P_N(f)dfPN=∫−∞∞PN(f)df。输出信噪比可以进一步写成
η0=∣∫−∞∞S(f)H(f)ej2πft0df∣2∫−∞∞N02∣H(f)∣2df\eta_0=\frac{{\Large |}\int_{-\infty}^{\infty}S(f)H(f)e^{j2\pi f t_0}df{\Large |}^2}{\int_{-\infty}^{\infty}\frac{N_0}{2}|H(f)|^2df} η0=∫−∞∞2N0∣H(f)∣2df∣∫−∞∞S(f)H(f)ej2πft0df∣2

施瓦尔兹不等式：
∣∫−∞∞X(f)H(f)df∣2≤∫−∞∞∣X(f)∣2df∫−∞∞∣H(f)∣2df{\Large |} \int_{-\infty}^{\infty}X(f)H(f)df{\Large |}^2 \le \int_{-\infty}^{\infty}{\Large |}X(f){\Large |}^2df \int_{-\infty}^{\infty}{\Large |}H(f){\Large |^2} df ∣∫−∞∞X(f)H(f)df∣2≤∫−∞∞∣X(f)∣2df∫−∞∞∣H(f)∣2df当且仅当X(f)=KH∗(f)X(f)=KH^*(f)X(f)=KH∗(f)时，等号成立。

根据施瓦尔兹不等式，有
η0=∣∫−∞∞H(f)[S(f)ej2πft0]df∣2N02∫−∞∞∣H(f)∣2df=∫−∞∞∣H(f)∣2df⋅∫−∞∞∣S(f)∣2dfN02∫−∞∞∣H(f)∣2df=∫−∞∞∣S(f)∣2dfN02=2EsN0(2)\tag{2} \begin{aligned} \eta_0&=\frac{{\Large |}\int_{-\infty}^{\infty}H(f)[S(f)e^{j2\pi f t_0}]df{\Large |}^2}{\frac{N_0}{2}\int_{-\infty}^{\infty}|H(f)|^2df}\\ &=\frac{\int_{-\infty}^{\infty}|H(f)|^2df \cdot \int_{-\infty}^{\infty}|S(f)|^2df}{\frac{N_0}{2}\int_{-\infty}^{\infty}|H(f)|^2df}\\ &=\frac{ \int_{-\infty}^{\infty}|S(f)|^2df}{\frac{N_0}{2}}\\ &=\frac{2E_s}{N_0} \end{aligned} η0=2N0∫−∞∞∣H(f)∣2df∣∫−∞∞H(f)[S(f)ej2πft0]df∣2=2N0∫−∞∞∣H(f)∣2df∫−∞∞∣H(f)∣2df⋅∫−∞∞∣S(f)∣2df=2N0∫−∞∞∣S(f)∣2df=N02Es(2)其中，Es=∫−∞∞∣S(f)∣2df=∫−∞∞s2(t)∣dtE_s=\int_{-\infty}^{\infty}|S(f)|^2df=\int_{-\infty}^{\infty}s^2(t)|dtEs=∫−∞∞∣S(f)∣2df=∫−∞∞s2(t)∣dt为信号s(t)s(t)s(t)的能量。显然，(2)中等号成立的条件为
H(f)=KS∗(f)e−j2πft0,(3)\tag{3} H(f)=KS^*(f)e^{-j2\pi ft_0}, H(f)=KS∗(f)e−j2πft0,(3)此时，可以得到信噪比最大值为
η0,max⁡=2EsN0.(4)\tag{4} \eta_{0,\max}=\frac{2E_s}{N_0}. η0,max=N02Es.(4)进一步，可以得到匹配滤波器的冲激响应为
h(t)=∫−∞∞H(f)e−j2πftdf=∫−∞∞KS∗(f)e−j2πft0e−j2πftdf=K∫−∞∞[∫−∞∞s(τ)e−j2πfτdτ]∗e−j2πf(t0−t)df=K∫−∞∞[∫−∞∞ej2πf(τ−t0+t)df]s(τ)dτ=K∫−∞∞δ(τ−t0+t)s(τ)dτ=Ks(t0−t).(5)\tag{5} \begin{aligned} h(t)&=\int_{-\infty}^{\infty}H(f)e^{-j2\pi f t}df=\int_{-\infty}^{\infty}KS^*(f)e^{-j2\pi ft_0}e^{-j2\pi f t}df\\ &=K\int_{-\infty}^{\infty}{\Large[} \int_{-\infty}^{\infty}s(\tau)e^{-j2\pi f \tau }d \tau{\Large]^*}e^{-j2\pi f(t_0-t)}df\\ &=K\int_{-\infty}^{\infty}{\Large[} \int_{-\infty}^{\infty}e^{j2\pi f( \tau-t_0+t)}d f {\Large]}s(\tau)d\tau\\ &=K\int_{-\infty}^{\infty}\delta(\tau -t_0+t)s(\tau)d\tau\\ &=Ks(t_0-t). \end{aligned} h(t)=∫−∞∞H(f)e−j2πftdf=∫−∞∞KS∗(f)e−j2πft0e−j2πftdf=K∫−∞∞[∫−∞∞s(τ)e−j2πfτdτ]∗e−j2πf(t0−t)df=K∫−∞∞[∫−∞∞ej2πf(τ−t0+t)df]s(τ)dτ=K∫−∞∞δ(τ−t0+t)s(τ)dτ=Ks(t0−t).(5)

1.3 匹配滤波器的物理可实现性

根据(5)可知，在图1中，为了使得滤波器h(t)h(t)h(t)的输出信噪比在t0t_0t0达到最大值，有h(t)=Ks(t0−t)h(t)=Ks(t_0-t)h(t)=Ks(t0−t)，此时信噪比最大值为η0,max⁡=2EsN0\eta_{0,\max}=\frac{2E_s}{N_0}η0,max=N02Es。进一步，考虑滤波器的物理可实现性，有当t<0t<0t<0时，h(t)=0h(t)=0h(t)=0。设t′=t0−tt'=t_0-tt′=t0−t，有h(t0−t′)=Ks(t′)h(t_0-t')=Ks(t')h(t0−t′)=Ks(t′)，因此得到当t′>t0t'>t_0t′>t0时，s(t′)=0s(t')=0s(t′)=0。也就是说，为了保证与s(t)s(t)s(t)匹配的滤波器h(t)h(t)h(t)的物理可实现性，信号s(t)s(t)s(t)应该在信噪比达到最大值的时刻点t0t_0t0之前结束。

1.4 用相关器来等效匹配滤波器

在图1中，若滤波器的输入信号为x(t)=s(t)+nw(t)x(t)=s(t)+n_w(t)x(t)=s(t)+nw(t)，为了使得输出信号y(t)=so(t)+n(t)y(t)=s_o(t)+n(t)y(t)=so(t)+n(t)在t0t_0t0时刻的信噪比达到最大，我们采用匹配滤波器h(t)=s(t0−t)h(t)=s(t_0-t)h(t)=s(t0−t)，因此可以得到输出信号为
y(t)=x(t)∗h(t)=∫0tx(τ)h(t−τ)dτ=∫0tx(τ)s(t0−t+τ)dτ=∫0t[s(τ)+nw(τ)]s(t0−t+τ)dτ(6)\tag{6} \begin{aligned} y(t)&=x(t)*h(t)=\int_0^t x(\tau)h(t-\tau)d\tau\\ &=\int_0^t x(\tau)s(t_0-t+\tau)d\tau\\ &=\int_0^t [s(\tau)+n_w(\tau)]s(t_0-t+\tau)d\tau\\ \end{aligned} y(t)=x(t)∗h(t)=∫0tx(τ)h(t−τ)dτ=∫0tx(τ)s(t0−t+τ)dτ=∫0t[s(τ)+nw(τ)]s(t0−t+τ)dτ(6)根据物理可实现条件，我们取t0=Tt_0=Tt0=T，这里TTT为信号s(t)s(t)s(t)结束的时刻，因此有
y(t)=∫0t[s(τ)+nw(τ)]s(T−t+τ)dτ(6)\tag{6} \begin{aligned} y(t)=\int_0^t [s(\tau)+n_w(\tau)]s(T-t+\tau)d\tau\\ \end{aligned} y(t)=∫0t[s(τ)+nw(τ)]s(T−t+τ)dτ(6)进一步，t=Tt=Tt=T时刻y(t)y(t)y(t)抽样值为
y(T)=∫0T[s(τ)+nw(τ)]s(τ)dτ(7)\tag{7} y(T)=\int_0^T [s(\tau)+n_w(\tau)]s(\tau)d\tau y(T)=∫0T[s(τ)+nw(τ)]s(τ)dτ(7)从(7)可以看出，我们可以用图2所示的相关器来等效匹配滤波器，这样在t=Tt=Tt=T点的抽样值是相同的。由于相关器不需要滤波器的卷积运算，在分析时候更简单，因此在后面的讨论中，我们大多采用相关器进行分析。在图2中可以看到，由于滤波器是与s(t)s(t)s(t)匹配，因此相关器中是与s(t)s(t)s(t)相乘，并且在时刻TTT抽样。

图2 用相关器等效匹配滤波器

2、采用匹配滤波器的二进制基带传输系统误码性能分析

2.1 系统模型

从图3看出，在发射机中，我们首先进行线路编码，随后通过窄脉冲和脉冲成型，产生发送信号s(t)s(t)s(t)。这里我们考虑二进制系统，即发射机发送两种不同信号波形，分别表示"1"和"0"。例如，我们可以用图4(a)中的s1(t)s_1(t)s1(t)和(b)中s2(t)s_2(t)s2(t)，分别表示“1”和“0”。

图3 数字基带传输系统模型

发射机发送的信号si(t),i=1,2s_i(t),\ i=1,2si(t), i=1,2，经过信道后到达接收机，因此接收信号可以表示为：
r(t)=s(t)∗c(t)+nw(t),(8)\tag{8} r(t)=s(t)*c(t)+n_w(t), r(t)=s(t)∗c(t)+nw(t),(8)这里c(t)c(t)c(t)为信道的冲激响应，nw(t)n_w(t)nw(t)为加性高斯白噪声。
这里我们考虑带宽无限的理想AWGN信道，因此有到达接收机的信号为
r(t)=s(t)+nw(t).(9)\tag{9} r(t)=s(t)+n_w(t). r(t)=s(t)+nw(t).(9)

下面我们来讨论接收滤波器gR(t)g_R(t)gR(t)的设计。采用与s1(t)s_1(t)s1(t)相匹配的MF，我们可知gR(t)=s1(Ts−t)g_R(t)=s_1(T_s-t)gR(t)=s1(Ts−t)，这里的TsT_sTs为信号s1(t)s_1(t)s1(t)持续时间，如图4所示。

2.2 判决变量yyy的条件概率密度函数

图3中，接收滤波器gR(t)g_R(t)gR(t)输出的信号y(t)y(t)y(t)，在TsT_sTs点进行抽样后，得到判决变量yyy，再对yyy进行判决。在图5中，我们用相关器来等效匹配滤波器。

（1）发送信号为s1(t)s_1(t)s1(t)时的判决变量

若发射信号为s1(t)s_1(t)s1(t)，接收信号r(t)=s1(t)+nw(t)r(t)=s_1(t)+n_w(t)r(t)=s1(t)+nw(t)，可以得到判决变量为
y=y(Ts)=∫0Ts[s1(τ)+nw(τ)]s1(τ)dτ=∫0Tss12(τ)dτ+∫0Tss1(τ)nw(τ)dτ=Es1+Z.(10)\tag{10} \begin{aligned} y&=y(T_s)=\int_0^{T_s}[s_1(\tau)+n_w(\tau)]s_1(\tau)d\tau\\ & =\int_0^{T_s}s^2_1(\tau)d\tau+\int_0^{T_s}s_1(\tau)n_w(\tau)d\tau\\ &=E_{s1}+Z. \end{aligned}y=y(Ts)=∫0Ts[s1(τ)+nw(τ)]s1(τ)dτ=∫0Tss12(τ)dτ+∫0Tss1(τ)nw(τ)dτ=Es1+Z.(10)其中Es1=∫0Tss12(τ)dτE_{s1}=\int_0^{T_s}s^2_1(\tau)d\tauEs1=∫0Tss12(τ)dτ为信号s1(t)s_1(t)s1(t)的能量，噪声项
Z=∫0Tss1(τ)nw(τ)dτ(11)\tag{11} \begin{aligned} Z=\int_0^{T_s}s_1(\tau)n_w(\tau)d\tau \end{aligned} Z=∫0Tss1(τ)nw(τ)dτ(11)的条件均值为
E(Z∣s1)=0(12)\tag{12} {\rm E}(Z|s_1)=0 E(Z∣s1)=0(12)方差为
var(Z∣s1)=E{[Z−E(Z)]2∣s1}=E[∫0Ts∫0Tsnw(t1)nw(t2)s1(t1)s1(t2)dt1dt2]=∫0Ts∫0TsE[nw(t1)nw(t2)]s1(t1)s1(t2)dt1dt2.(13)\tag{13} \begin{aligned} {\rm var}(Z|s_1)&={\rm E}{\Large \{}[Z-{\rm E}(Z)]^2|s_1{\Large \}}\\ &={\rm E}{\Large [}\int_0^{T_s}\int_0^{T_s}n_w(t_1)n_w(t_2)s_1(t_1)s_1(t_2)dt_1dt_2 {\Large ]}\\ &=\int_0^{T_s}\int_0^{T_s}{\rm E}{\Large [}n_w(t_1)n_w(t_2){\Large ]}s_1(t_1)s_1(t_2)dt_1dt_2. \end{aligned} var(Z∣s1)=E{[Z−E(Z)]2∣s1}=E[∫0Ts∫0Tsnw(t1)nw(t2)s1(t1)s1(t2)dt1dt2]=∫0Ts∫0TsE[nw(t1)nw(t2)]s1(t1)s1(t2)dt1dt2.(13)其中，
E[nw(t1)nw(t2)]=Rw(τ)=N02δ(τ),τ=t2−t1,(14)\tag{14} {\rm E}{\Large [}n_w(t_1)n_w(t_2){\Large ]}=R_w(\tau)=\frac{N_0}{2}\delta(\tau),\ \tau=t_2-t_1, E[nw(t1)nw(t2)]=Rw(τ)=2N0δ(τ), τ=t2−t1,(14)这里Rw(τ)R_w(\tau)Rw(τ)为AWGN的自相关函数。将(14)代入(13)，可以得到
var(Z∣s1)=N02∫0Tss12(t)dt=N02Es1.(15)\tag{15} \begin{aligned} {\rm var}(Z|s_1)&=\frac{N_0}{2}\int_0^{T_s}s_1^2(t)dt=\frac{N_0}{2}E_{s1}. \end{aligned} var(Z∣s1)=2N0∫0Tss12(t)dt=2N0Es1.(15)显然，我们有Z∼N(0,N02Es1)Z\sim{\mathcal N}(0,\frac{N_0}{2}E_{s1})Z∼N(0,2N0Es1)，故y∼N(Es,N02Es1)y\sim {\mathcal N}(E_s,\frac{N_0}{2}E_{s1})y∼N(Es,2N0Es1)。
因此，我们可以得到发送信号为s1(t)s_1(t)s1(t)时判决变量yyy的条件概率密度函数为
p(y∣s1)=12πσne−(y−Es1)22σn2,(16)\tag{16} p(y|s_1)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma_n}e^{-\frac{(y-E_{s1})^2}{2\sigma_n^2}}, p(y∣s1)=2πσn1e−2σn2(y−Es1)2,(16)其中σn2=N02Es1\sigma_n^2=\frac{N_0}{2}E_{s1}σn2=2N0Es1为(15)推导得到的噪声平均功率。

（2）发送信号为s2(t)s_2(t)s2(t)时的判决变量

若发射信号为s2(t)s_2(t)s2(t)，我们按照上面步骤进行推导，可以得到判决变量为
y=∫0Tss1(τ)s2(τ)dτ+Z(17)\tag{17} y =\int_0^{T_s}s_1(\tau)s_2(\tau)d\tau+Z y=∫0Tss1(τ)s2(τ)dτ+Z(17)因此y∼N(R12,N02Es)y\sim {\mathcal N}(R_{12},\frac{N_0}{2}E_s)y∼N(R12,2N0Es)，这里ρ12=∫0Tss1(t)s2(t)dt\rho_{12}=\int_0^{T_s}s_1(t)s_2(t)dtρ12=∫0Tss1(t)s2(t)dt为信号s1(t)s_1(t)s1(t)与s2(t)s_2(t)s2(t)的相关系数。我们分别考虑单极性和双极性两种情况。若为单极性波形，即s2(t)=0s_2(t)=0s2(t)=0，有ρ12=0\rho_{12}=0ρ12=0，因此可以得到发送信号为s2(t)s_2(t)s2(t)时判决变量yyy的条件概率密度函数为
p(y∣s2)=12πσne−y22σn2.(18)\tag{18} p_(y|s_2)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma_n}e^{-\frac{y^2}{2\sigma_n^2}}. p(y∣s2)=2πσn1e−2σn2y2.(18)若为双极性波形，即s2(t)=−s1(t)s_2(t)=-s_1(t)s2(t)=−s1(t)，有ρ12=−∫0Tss12(t)dt=−Es1\rho_{12}=-\int_0^{T_s}s_1^2(t)dt=-E_{s1}ρ12=−∫0Tss12(t)dt=−Es1，因此可以得到发送信号为s2(t)s_2(t)s2(t)时判决变量yyy的条件概率密度函数为
p(y∣s2)=12πσne−(y+Es1)22σn2.(19)\tag{19} p(y|s_2)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma_n}e^{-\frac{(y+E_{s1})^2}{2\sigma_n^2}}. p(y∣s2)=2πσn1e−2σn2(y+Es1)2.(19)

2.3 码元错误概率公式推导

单极性以及双极性情况下，判决变量yyy的条件概率密度函数曲线分别如图6中(a)和(b)所示。我们假定s1(t)s_1(t)s1(t)和s2(t)s_2(t)s2(t)分别代表二进制信息的"1"和“0”，且二者发送概率相等，即P0=P1=12P_0=P_1=\frac{1}{2}P0=P1=21，因此系统的误码率为Pe=12(Pe0+Pe1)P_e=\frac{1}{2}(P_{e0}+P_{e1})Pe=21(Pe0+Pe1)，其中
Pe0=Pr(y>VT∣s2)P_{e0}={\rm Pr}(y>V_T|s_2)Pe0=Pr(y>VT∣s2)为发送’0’时候的错误概率，VTV_TVT为判决门限；而
Pe1=Pr(y<VT∣s1)P_{e1}={\rm Pr}(y<V_T|s_1)Pe1=Pr(y<VT∣s1)为发送’0’时候的错误概率。由于“0”、“1”发送概率相等，因此最佳判决门限取在两条条件概率曲线均值的重点，即单极性时VT=Es2V_T=\frac{E_s}{2}VT=2Es，双极性时VT=0V_T=0VT=0。

图6 单极性与双极性情况下判决变量y的条件概率密度函数

与上一节低通滤波器的推导类似，我们可以得到发s1(t)s_1(t)s1(t)时的误码率为红色阴影部分，即单极性时为
Pe,单=Q(Es1/2σn),P_{e,单}=Q(\frac{E_{s1}/2}{\sigma_n}), Pe,单=Q(σnEs1/2),双极性时候为Pe,双=Q(Esσn),P_{e,双}=Q(\frac{E_s}{\sigma_n}), Pe,双=Q(σnEs),将σn2=N02Es1\sigma_n^2=\frac{N_0}{2}E_{s1}σn2=2N0Es1代入，有
Pe,单=Q(Es12N0),(20)\tag{20} P_{e,单}=Q(\sqrt{\frac{E_{s1}}{2N_0}}), Pe,单=Q(2N0Es1),(20)以及Pe,双=Q(2Es1N0).(21)\tag{21} P_{e,双}=Q(\sqrt{\frac{2E_{s1}}{N_0}}). Pe,双=Q(N02Es1).(21)进一步，我们注意到对于双极性信号，有s1(t)s_1(t)s1(t)与s2(t)s_2(t)s2(t)的信号能量相等，即Es1=Es2E_{s1}=E_{s2}Es1=Es2，因此信号的平均功率为Es=Es1=Es2E_s=E_{s1}=E_{s2}Es=Es1=Es2；对于单极性信号，s1(t)s_1(t)s1(t)的信号能量为Es1E_{s1}Es1，而s2(t)s_2(t)s2(t)的信号能量为0，如果s1(t)s_1(t)s1(t)与s2(t)s_2(t)s2(t)出现概率相等，则信号s(t)s(t)s(t)的平均功率为Es=Es1+Es22=Es12E_s=\frac{E_{s1}+E_{s2}}{2}=\frac{E_{s1}}{2}Es=2Es1+Es2=2Es1。将EsE_{s}Es代入(20)和(21)中，有
Pe,单=Q(EsN0),(22)\tag{22} P_{e,单}=Q(\sqrt{\frac{E_{s}}{N_0}}), Pe,单=Q(N0Es),(22)以及Pe,双=Q(2EsN0).(23)\tag{23} P_{e,双}=Q(\sqrt{\frac{2E_{s}}{N_0}}). Pe,双=Q(N02Es).(23)