匈牙利算法解决指派问题

指派问题背景介绍
算法原理
算法实现

指派问题背景介绍

在实践中经常会遇到这样一种问题：有n项不同的工作或任务，需要n个人去完成，要求每人只完成一项工作。由于每人的知识、能力、经验等不同，故各人完成不同任务所需要的时间不同。问应指派何人完成何项工作，使完成n项工作总耗时最少
这就是所谓的指派问题，指派问题也是整数规划问题

算法原理

定理1
设指派问题的效率矩阵为，若将该矩阵的某一行或列的各元素都减去同一个常数t，得到新的效率矩阵，则以C’为效率矩阵的新指派问题与原指派问题的最优解相同，但其最优值比原最优值减少t

定理2
若将指派问题的效率矩阵每一行及每一列分别减去各行及各列的最小元素，则得到的新指派问题与原指派问题有相同的最优解

将效率矩阵的每一行减去各行最小元素，所得矩阵的每一列再减去当前列中最小元素，最后的新效率矩阵C’中必然会出现一些零元素
元素 =0表示第i个人去干第j项工作效率最好，或表示第j项工作由第i个人来干效率最高

定理3
效率矩阵C中独立零元素的最多个数等于能覆盖所有零元素的最小直线数

定义1
在效率矩阵C中，有一组处在不同行不同列的零元素，称为独立零元素组，此时其中每个元素称为独立零元素

算法实现

Step 1

变化效率矩阵，将各行各列都减去当前各行各列最小元素

function [P_cond,stepnum] = step1(M)size = length(M);for i = 1:sizerow_min = min(M(i,:));M(i,:) = M(i,:)-row_min;endstepnum = 2;

Step 2
用圈零法求出新矩阵C1中独立零元素

进行行检验
对C1进行逐行检查，每行只有一个未标记的零元素时，用O记号将该元素圈起，然后将被圈起的零元素所在列的其他未标记的零元素用记号×划去
重复行检验，直到每一行都没有未被标记的零元素或至少有两个未被标记的零元素为止
进行列检验，与进行行检验类似

function [r_cov,c_cov,C,stepnum] = step2(M)% Define variablessize = length(M);r_cov = zeros(size,1);  % 显示是否覆盖行的向量c_cov = zeros(size,1);  % 显示是否覆盖列的向量C = zeros(size);        %显示一个位置是O还是×for i = 1:sizefor j = 1:sizeif M(i,j) == 0 && r_cov(i) == 0 && c_cov(j) == 0C(i,j) = 1;r_cov(i) = 1;c_cov(j) = 1;endendend
% Re-initialize the cover vectorsr_cov = zeros(size,1);  % A vector that shows if a row is coveredc_cov = zeros(size,1);  % A vector that shows if a column is coveredstepnum = 3;

Step 3
（1）每一行均有O出现，圈O的个数m恰好等于n，即m=n
（2）存在未标记过的零元素，但它们所在的行和列中，未标记过的零元素均至少有两个
（3）不存在未被标记过的零元素，但圈O的个数m<n

试指派

若情况（1）出现，则可以进行指派：令圈0位置的决策变量取值为1，其他决策变量取值均为零，得到一个最优指派方案

%判断下一步往哪走
function [c_cov,stepnum] = step3(C,size)c_cov = sum(C,1);if sum(c_cov) == size  % m=nstepnum = 7;elsestepnum = 4;end

若情况（2）出现，则再对每行每列中有两个未被标记过的零元素任选一个加上标记O。同时给同列或同行的其他未被标记的零元素加上标记×，然后再进行行与列检验，这时可能出现情况（1）或（3）。若出现情况（1），则由上述得到一最优指派方案，停止计算
若情况（3）出现，则要转入第四步

function [C,r_cov,c_cov,Z_r,Z_c,stepnum] = step4(M,r_cov,c_cov,C)
size = length(M);
zflag = 1;
while zflag  % Find the first uncovered zerorow = 0; col = 0; exit_flag = 1;i = 1; j = 1;while exit_flag %判断是否存在未覆盖到的0if M(i,j) == 0 && r_cov(i) == 0 && c_cov(j) == 0row = i;col = j;exit_flag = 0;end      j = j + 1;      if j > size; j = 1; i = i+1; end      if i > size; exit_flag = 0; end      end% If there are no uncovered zeros go to step 6if row == 0stepnum = 6;zflag = 0;Z_r = 0;Z_c = 0;else% Prime the uncovered zeroC(row,col) = 2; %未被标记元素% If there is a starred zero in that row% Cover the row and uncover the column containing the zeroif sum(find(C(row,:)==1)) ~= 0 %一行中存在被标记元素r_cov(row) = 1;zcol = find(C(row,:)==1);c_cov(zcol) = 0;elsestepnum = 5;zflag = 0;Z_r = row;Z_c = col;end            end
end

Step 4
作最少直线覆盖当前所有零元素
（1）对所有不含圈0元素的行打√
（2）对打√的行中所有零元素所在列打√
（3）对所有打√列中圈0元素所在行打√
（4）重复上述第（2）和第（3）步，直到不能进一步打√为止
（5）对未打√的行画一直线，对已打√的每一列画一纵线即可

function [C,r_cov,c_cov,stepnum] = step5(C,Z_r,Z_c,r_cov,c_cov)zflag = 1;i = 1;while zflag % Find the index number of the starred zero in the columnrindex = find(C(:,Z_c(i))==1);if rindex > 0 % Save the starred zeroi = i+1;Z_r(i,1) = rindex; % Save the row of the starred zero% The column of the starred zero is the same as the column of the % primed zeroZ_c(i,1) = Z_c(i-1);elsezflag = 0;end% Continue if there is a starred zero in the column of the primed zeroif zflag == 1;% Find the column of the primed zero in the last starred zeros rowcindex = find(C(Z_r(i),:)==2);i = i+1;Z_r(i,1) = Z_r(i-1);Z_c(i,1) = cindex;    end    end% UNSTAR all the starred zeros in the path and STAR all primed zerosfor i = 1:length(Z_r)if C(Z_r(i),Z_c(i)) == 1C(Z_r(i),Z_c(i)) = 0;elseC(Z_r(i),Z_c(i)) = 1;endend% Clear the coversr_cov = r_cov.*0;c_cov = c_cov.*0;% Remove all the primesC(C==2) = 0;stepnum = 3;

Step 5
对矩阵作进一步交换，以增加0元素

在未被直线覆盖过的元素中找出最小元素，将打√行的各元素减去这个最小元素，将打√列的各元素加上这个最小元素（以避免打√行中出现负元素），这样就增加了独立零元素的个数

function [P_cond,stepnum] = step6(P_cond,r_cov,c_cov)
a = find(r_cov == 0);
b = find(c_cov == 0);
minval = min(min(P_cond(a,b)));P_cond(find(r_cov == 1),:) = P_cond(find(r_cov == 1),:) + minval;
P_cond(:,find(c_cov == 0)) = P_cond(:,find(c_cov == 0)) - minval;stepnum = 4;

Step 6
对已增加独立零元素的矩阵，再用圈0法找出独立零元素组，即回到Step 2的（1）和（2），对矩阵进行行检验及列检验，直到出现圈0的个数m=n时为止

算法实现

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