利用匈牙利算法Hopcroft-Karp算法解决二分图中的最大二分匹配问题 例poj 1469 COURSES...
首先介绍一下题意：已知，有N个学生和P门课程，每个学生可以选0门，1门或者多门课程，要求在N个学生中选出P个学生使得这P个学生与P门课程一一对应。
这个问题既可以利用最大流算法解决也可以用匈牙利算法解决。如果用最大流算法中的Edmonds-karp算法解决，因为时间复杂度为O(n*m*m),n为点数，m为边数，会超时，利用匈牙利算法，时间复杂度为O(n*m)，时间复杂度小，不会超时。
其实匈牙利算法就是最大流算法，只不过它的使用范围仅限于二分图，所以可以称之为“二分图定制版的最大流算法”，既然是定制的，那么他就会考虑到二分图的特殊性，优化原来的最大流算法，降低时间复杂度，同时也变得有点复杂不容易理解了。既然匈牙利算法继承自最大流算法，所以他的算法框架与最大流算法是一样的：
最大流算法与匈牙利算法的框架：
初始时最大流为0（匈牙利算法为：最大匹配为空）
while 找到一条增广路径（匈牙利算法为：取出未遍历的左边的点u）
最大流+=增广路径的流量，更新网络（匈牙利算法为：如果点u存在增广路径，增广路径取反，最大匹配增加1对匹配）
我们知道在利用最大流算法解决最大匹配问题时，首先需要构建一个超级源点s和超级汇点t，并且边是有方向的和容量（为1）的(如图8所示)，而利用匈牙利算法则不需要构造s,t，边也没有方向和容量。表面上看匈牙利算法中的边没有方向和容量，其实在它对增广路径的约束中我们可以看到边的方向和容量的“影子”，如下红色标注的约束。
匈牙利算法对增广路径的约束 参见[1] ：
(1)有奇数条边。
(2)起点在二分图的左半边，终点在右半边。
(3)路径上的点一定是一个在左半边，一个在右半边，交替出现。（其实二分图的性质就决定了这一点，因为二分图同一边的点之间没有边相连，不要忘记哦。）
(4)整条路径上没有重复的点。
(5)起点和终点都是目前还没有配对的点，而其它所有点都是已经配好对的。（如图5，图6所示，［2,5］是已经配好对的点；而起点3和终点7目前还没有与其它点配对。）
(6)路径上的所有第奇数条边都不在原匹配中，所有第偶数条边都出现在原匹配中。（如图5，图6所示，原有的匹配［2，5］在在图6给出的增广路径（红线所示）中是第2条边。而增广路径的第1、3条边都没有出现在图5给出的匹配中。）
(7)最后，也是最重要的一条，把增广路径上的所有第奇数条边加入到原匹配中去，并把增广路径中的所有第偶数条边从原匹配中删除（这个操作称为增广路径的取反），则新的匹配数就比原匹配数增加了1个。（如图6所示，新的匹配就是所有被红色的边所覆盖的黑色的边，而所有红色的边所覆盖的黄色的边则从原匹配中删除，最终匹配结果如图7黄色的边所示。则新的匹配数为3。）
为了便于理解，下面给出利用最大流算法和匈牙利算法解决最大二分匹配的图示。图1为初始二分图，图1->图7为利用匈牙利算法求解最大二分匹配的过程，图8为利用图1二分图所构建的流网络，图8->图14为利用最大流算法求解最大二分匹配的过程,最终求得的最大流为所有增广路径（如图9，图10，图11所示）增加的流相加：1+1+1=3。
下面介绍一下Hopcroft-Karp算法，这个算法的时间复杂度为O(n^(1/2)*m)。该算法是对匈牙利算法的优化，如图1-图7，利用匈牙利算法一次只能找到一条增广路径，Hopcroft-Karp就提出一次找到多条不相交的增广路径（不相交就是没有公共点和公共边的增广路径），然后根据这些增广路径添加多个匹配。说白了，就是批量处理！为了容易理解，我构造了一个图例，见图15-图18。
回到原题中来，code1、code2分别为dfs和bfs实现的匈牙利算法;code3为利用Hopcroft-Karp解决COURSE的代码。
code1:
#include<iostream>using namespace std;
#define Maxn 500
//课程与课代表
//存储左侧的点连接的右侧点
int lefts[Maxn];
//存储右侧的点 连接的左侧点
int rights[Maxn]; int flag_rights[Maxn];
int G[Maxn][Maxn];
//nc代表课程数目 ns代表学生数目
int nc,ns;int findpath(int left_u)
{for(int v=1;v<=ns;v++){if(G[left_u][v]&&!flag_rights[v]){flag_rights[v]=1;if((rights[v]==-1||findpath(rights[v]))){lefts[left_u]=v;rights[v]=left_u;return 1; }} }return 0;
}//最大匹配
int MaxMatch()
{// printf("MaxMatch开始执行\n");int cnt=0;memset(lefts,-1,sizeof(lefts));memset(rights,-1,sizeof(rights));for(int u=1;u<=nc;u++){memset(flag_rights,0,sizeof(flag_rights));if(findpath(u)){cnt++;}} return cnt;
}int main()
{int num;scanf("%d",&num);while(num--){//首先输入数据 memset(G,0,sizeof(G));scanf("%d%d",&nc,&ns);for(int u=1;u<=nc;u++){int c_stu;scanf("%d",&c_stu);for(int j=0;j<c_stu;j++){int v;scanf("%d",&v);G[u][v]=1;}}if(ns>=nc&&MaxMatch()==nc){printf("YES\n");} else{printf("NO\n");}}return 0;
}/*
4
3 3
3 1 2 3
2 1 2
1 1
3 3
2 1 3
2 1 3
1 1
3 3
3 1 2 3
2 1 2
1 1
3 3
2 1 3
2 1 3
1 1*/View Code
CODE2:
#include<iostream>
#include<queue>
#define Maxn 500
using namespace std;
//利用匈牙利算法解决二分图匹配问题
int nc,ns;//nc代表课程数 ns代表学生数
int lefts[Maxn];//存储课程所对应的学生
int rights[Maxn];//存储学生所对应的课程
int G[Maxn][Maxn];
int pre_left[Maxn];//记录课程前面的课程 （增广路径）
int mark_right[Maxn];//记录当前学生是否已经遍历（增广路径）
//利用广度优先搜索 得到最大匹配数
int max_match()
{ //lefts 数组初始化为0 memset(lefts,-1,sizeof(lefts)); memset(rights,-1,sizeof(rights)); int maxf=0; for(int i=1;i<=nc;i++) { queue<int>q; q.push(i); int ok=0; memset(mark_right,0,sizeof(mark_right)); memset(pre_left,0,sizeof(pre_left)); while(!q.empty()) { int u=q.front(); q.pop(); for(int v=1;v<=ns;v++) { if(G[u][v]&&!mark_right[v])//如果课程与学生对应 并且当前学生没有被遍历
{ mark_right[v]=1; if(rights[v]==-1) { ok=1; //更新匹配关系 int sl=u,sr=v; while(sl!=0) { int st=lefts[sl]; lefts[sl]=sr;rights[sr]=sl; sl=pre_left[sl];sr=st; } break; } else { pre_left[rights[v]]=u;//记录课程的前驱
q.push(rights[v]); } } } if(ok) break; } if(ok) maxf++; } /* for(int i=1;i<4;i++) cout<<lefts[i]<<" "<<rights[i]<<endl; */ return maxf;
} int main()
{ int num; scanf("%d",&num); while(num--) { memset(G,0,sizeof(G)); scanf("%d%d",&nc,&ns); for(int i=1;i<=nc;i++) { int snum; scanf("%d",&snum); int u; for(int j=1;j<=snum;j++) { scanf("%d",&u); G[i][u]=1; } } if(max_match()==nc) { printf("YES\n"); } else { printf("NO\n"); } /* cout<<"最大匹配数是："<<max_match()<<endl; cout<<"对应的匹配关系是："<<endl; for(int i=1;i<=nc;i++) { cout<<i<<" "<<lefts[i]<<endl; } cout<<"!!!!!!!!!!!!!!"<<endl; for(int i=1;i<=ns;i++) { cout<<rights[i]<<" "<<i<<endl; }*/ } return 0;
}
/*
6
3 3
2 1 3
2 1 3
1 1
3 3
3 1 2 3
2 1 2
1 1
3 3
2 1 3
2 1 3
1 1
3 3
3 1 2 3
2 1 2
1 1
*/ View Code
CODE3:
#include<iostream> #include<queue> using namespace std; const int MAXN=500;// 最大点数 const int INF=1<<28;// 距离初始值 int bmap[MAXN][MAXN];//二分图 int cx[MAXN];//cx[i]表示左集合i顶点所匹配的右集合的顶点序号 int cy[MAXN]; //cy[i]表示右集合i顶点所匹配的左集合的顶点序号 int nx,ny; int dx[MAXN]; int dy[MAXN]; int dis; bool bmask[MAXN]; //寻找 增广路径集 bool searchpath() { queue<int>Q; dis=INF; memset(dx,-1,sizeof(dx)); memset(dy,-1,sizeof(dy)); for(int i=1;i<=nx;i++) { //cx[i]表示左集合i顶点所匹配的右集合的顶点序号 if(cx[i]==-1) { //将未遍历的节点 入队 并初始化次节点距离为0
Q.push(i); dx[i]=0; } } //广度搜索增广路径 while(!Q.empty()) { int u=Q.front(); Q.pop(); if(dx[u]>dis) break; //取右侧节点 for(int v=1;v<=ny;v++) { //右侧节点的增广路径的距离 if(bmap[u][v]&&dy[v]==-1) { dy[v]=dx[u]+1; //v对应的距离 为u对应距离加1 if(cy[v]==-1) dis=dy[v]; else { dx[cy[v]]=dy[v]+1; Q.push(cy[v]); } } } } return dis!=INF; } //寻找路径 深度搜索 int findpath(int u) { for(int v=1;v<=ny;v++) { //如果该点没有被遍历过 并且距离为上一节点+1 if(!bmask[v]&&bmap[u][v]&&dy[v]==dx[u]+1) { //对该点染色 bmask[v]=1; if(cy[v]!=-1&&dy[v]==dis) { continue; } if(cy[v]==-1||findpath(cy[v])) { cy[v]=u;cx[u]=v; return 1; } } } return 0; } //得到最大匹配的数目 int MaxMatch() { int res=0; memset(cx,-1,sizeof(cx)); memset(cy,-1,sizeof(cy)); while(searchpath()) { memset(bmask,0,sizeof(bmask)); for(int i=1;i<=nx;i++) { if(cx[i]==-1) { res+=findpath(i); } } } return res; } int main() { int num; scanf("%d",&num); while(num--) { memset(bmap,0,sizeof(bmap)); scanf("%d%d",&nx,&ny); for(int i=1;i<=nx;i++) { int snum; scanf("%d",&snum); int u; for(int j=1;j<=snum;j++) { scanf("%d",&u); bmap[i][u]=1; // bmap[u][i]=1;
} } // cout<<MaxMatch()<<endl; if(MaxMatch()==nx) { printf("YES\n"); } else { printf("NO\n"); } } //system("pause"); return 0; } /* 2 3 4 2 1 3 3 1 3 4 1 2 */ View Code
转载于:https://www.cnblogs.com/penseur/archive/2013/06/16/3138981.html
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