e^x的导数仍为e^x

e=limn→∞(1+1n)n

e = \lim_{n\to\infty}(1+\frac{1}{n})^n

dexdx=ex+dx−exdx=exedx−1dx \frac{de^x}{dx} = \frac{e^{x+dx} - e^x}{dx}=e^x\frac{e^{dx}-1}{dx}

即证：
edx−1dx=1 \frac{e^{dx}-1}{dx}=1

令： t=edx−1 t = e^{dx} - 1，可得 dx=ln(t+1) dx = \ln(t+1)

故
edx−1dx=tln(t+1)=1ln(1+t)1t \frac{e^{dx}-1}{dx}=\frac{t}{\ln(t+1)}=\frac{1}{\ln(1 + t)^\frac{1}{t}}

由 e e的定义式可得edx−1dx=1\frac{e^{dx}-1}{dx}=1

也即 dexdx=ex \frac{de^x}{dx}=e^x故得证

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