1. Lamé 常数

定义在曲线坐标系中，定义Lamé 常数 A i ( i = 1 , 2 , 3 ) A_i\ (i=1,2,3) Ai (i=1,2,3) :
{ A 1 = ∣ g ⃗ 1 ∣ = g 11 A 2 = ∣ g ⃗ 2 ∣ = g 22 A 3 = ∣ g ⃗ 3 ∣ = g 33 \begin{cases} A_1=|\vec{g}_1|=\sqrt{g_{11}} \\\\ A_2=|\vec{g}_2|=\sqrt{g_{22}} \\\\ A_3=|\vec{g}_3|=\sqrt{g_{33}} \end{cases} ⎩ ⎨ ⎧A1=∣g 1∣=g11 A2=∣g 2∣=g22 A3=∣g 3∣=g33

由于，在正交曲线坐标系中
( g ⃗ i , g ⃗ j ) = 0 ( i ≠ j ) (\vec{g}_i,\vec{g}_j)=0\quad(i\ne j) (g i,g j)=0(i=j)
则，
d s 2 = ( d r ⃗ , d r ⃗ ) = ( d x i g ⃗ i , d x j g ⃗ j ) = ( A 1 d x 1 ) 2 + ( A 2 d x 2 ) 2 + ( A 3 d x 3 ) 2 ds^2=(d\vec{r},d\vec{r})=(dx^i\vec{g}_i,dx^j\vec{g}_j)=(A_1dx^1)^2+(A_2dx^2)^2+(A_3dx^3)^2 ds2=(dr ,dr )=(dxig i,dxjg j)=(A1dx1)2+(A2dx2)2+(A3dx3)2
上式说明，在正交曲线坐标系中，Lamé 常数 A i ( i = 1 , 2 , 3 ) A_i\ (i=1,2,3) Ai (i=1,2,3) 的物理意义为：
坐标 x i 有单位增量时 , 弧长的增长坐标\ x^i\ 有单位增量时,弧长的增长坐标 xi 有单位增量时,弧长的增长
根据 Lamé 常数的物理意义可以从几何上得到其大小，如

柱坐标系：

A r = 1 ， A φ = r ， A z = 1 A_r=1，A_\varphi=r，A_z=1 Ar=1，Aφ=r，Az=1
球坐标系：

A r = 1 ， A θ = r ， A ϕ = r s i n θ A_r=1，A_\theta=r，A_\phi=rsin\theta Ar=1，Aθ=r，Aϕ=rsinθ

2. 物理标架与物理分量

在曲线坐标系中由于基向量一般不是单位向量且不一定具有相同的量纲，这将给张量的物理解释带来困难。因此，常常将张量建立在无量纲的、由单位基向量构成的标架场(物理标架)上，相应的张量分量便称为物理分量。

对于正交曲线坐标系，引进：
g ⃗ ⟨ i ⟩ = g ⃗ i ∣ g i ⃗ ∣ ( i = 1 , 2 , 3 ; 不对 i 求和 ) \vec{g}\langle i \rangle=\dfrac{\vec{g}_i}{|\vec{g_i}|}\quad(i=1,2,3;不对i求和) g ⟨i⟩=∣gi ∣g i(i=1,2,3;不对i求和)
显然， g ⃗ ⟨ i ⟩ ( i = 1 , 2 , 3 ) \vec{g}\langle i \rangle\ (i=1,2,3) g ⟨i⟩ (i=1,2,3) 构成了"无量纲的、由单位基向量构成的标架场"，之所以称作场，是由于该标架也是位置的函数，不同位置标架的方向不同。在正交曲线坐标系下:
{ g ⃗ i / / g ⃗ i ( 同向 ) ∣ g ⃗ i ∣ ⋅ ∣ g ⃗ i ∣ = 1 \begin{cases} \vec{g}_i//\vec{g}^i \quad(同向)\\\\ |\vec{g}_i|\cdot|\vec{g}^i|=1 \end{cases} ⎩ ⎨ ⎧g i//g i(同向)∣g i∣⋅∣g i∣=1
其中, i = 1 , 2 , 3 i=1,2,3 i=1,2,3, 不对 i i i 求和。那么，物理标架可进一步表示为：
g ⃗ ⟨ i ⟩ = g ⃗ i ∣ g i ⃗ ∣ = g ⃗ i ∣ g ⃗ i ∣ = ∣ g ⃗ i ∣ g ⃗ i = ∣ g ⃗ i ∣ g ⃗ i ( i = 1 , 2 , 3 ; 不对 i 求和 ) \vec{g}\langle i \rangle=\dfrac{\vec{g}_i}{|\vec{g_i}|}=\dfrac{\vec{g}^i}{|\vec{g}^i|}=|\vec{g}^i|\ \vec{g}_i=|\vec{g}_i|\ \vec{g}^i\quad(i=1,2,3;不对i求和) g ⟨i⟩=∣gi ∣g i=∣g i∣g i=∣g i∣ g i=∣g i∣ g i(i=1,2,3;不对i求和)

任何张量可在物理标架上进行分解：
v ⃗ = ∑ i v i g ⃗ i = ∑ i ( v i ∣ g ⃗ i ∣ ) g ⃗ ⟨ i ⟩ = ∑ i ( v i A i ) g ⃗ ⟨ i ⟩ ≜ ∑ i v ⟨ i ⟩ g ⃗ ⟨ i ⟩ = ∑ i v i g ⃗ i = ∑ i ( v i ∣ g ⃗ i ∣ ) g ⃗ ⟨ i ⟩ = ∑ i ( v i A i ) g ⃗ ⟨ i ⟩ B = ∑ i , j B i j g ⃗ i g ⃗ j = ∑ i , j ( B i j ∣ g ⃗ i ∣ ∣ g ⃗ j ∣ ) g ⃗ ⟨ i ⟩ g ⃗ ⟨ j ⟩ = ∑ i , j ( B i j A i A j ) g ⃗ ⟨ i ⟩ g ⃗ ⟨ j ⟩ ≜ ∑ i , j B ⟨ i j ⟩ g ⃗ ⟨ i ⟩ g ⃗ ⟨ j ⟩ = ∑ i , j B i j g ⃗ i g ⃗ j = ∑ i , j ( B i j ∣ g ⃗ i ∣ ∣ g ⃗ j ∣ ) g ⃗ ⟨ i ⟩ g ⃗ ⟨ j ⟩ = ∑ i , j ( B i j A i A j ) g ⃗ ⟨ i ⟩ g ⃗ ⟨ j ⟩ = ∑ i , j B ∙ j i g ⃗ i g ⃗ j = ∑ i , j ( B ∙ j i ∣ g ⃗ i ∣ ∣ g ⃗ j ∣ ) g ⃗ ⟨ i ⟩ g ⃗ ⟨ j ⟩ = ∑ i , j ( B ∙ j i A i A j ) g ⃗ ⟨ i ⟩ g ⃗ ⟨ j ⟩ = ∑ i , j B i ∙ j g ⃗ i g ⃗ j = ∑ i , j ( B i ∙ j ∣ g ⃗ j ∣ ∣ g ⃗ i ∣ ) g ⃗ ⟨ i ⟩ g ⃗ ⟨ j ⟩ = ∑ i , j ( B i ∙ j A j A i ) g ⃗ ⟨ i ⟩ g ⃗ ⟨ j ⟩ \begin{aligned} &\vec{v}=\sum_iv^i\vec{g}_i=\sum_i(v^i|\vec{g}_i|)\vec{g}\langle i \rangle=\sum_i(v^iA_i)\vec{g}\langle i \rangle\triangleq\sum_i v\langle i \rangle\vec{g}\langle i \rangle\\\\ &\ \ =\sum_{i}v_i\vec{g}^i=\sum_i(\frac{v_i}{|\vec{g}_i|})\vec{g}\langle i \rangle=\sum_i(\frac{v_i}{A_i})\vec{g}\langle i \rangle\\\\ &\bold{B}=\sum_{i,j}B^{ij}\vec{g}_i\vec{g}_j=\sum_{i,j}(B^{ij}|\vec{g}_i||\vec{g}_j|)\vec{g}\langle i \rangle\vec{g}\langle j \rangle=\sum_{i,j}(B^{ij}A_iA_j)\vec{g}\langle i \rangle\vec{g}\langle j \rangle\triangleq\sum_{i,j}B\langle ij \rangle\vec{g}\langle i \rangle\vec{g}\langle j \rangle\\\\ &\quad=\sum_{i,j}B_{ij}\vec{g}^i\vec{g}^j=\sum_{i,j}(\frac{B_{ij}}{|\vec{g}_i||\vec{g}_j|})\vec{g}\langle i \rangle\vec{g}\langle j \rangle=\sum_{i,j}(\frac{B_{ij}}{A_iA_j})\vec{g}\langle i \rangle\vec{g}\langle j \rangle\\\\ &\quad=\sum_{i,j}B^{i}_{\bullet j}\vec{g}_i\vec{g}^j=\sum_{i,j}(B^{i}_{\bullet j}\frac{|\vec{g}_i|}{|\vec{g}_j|})\vec{g}\langle i \rangle\vec{g}\langle j \rangle=\sum_{i,j}(B^{i}_{\bullet j}\frac{A_i}{A_j})\vec{g}\langle i \rangle\vec{g}\langle j \rangle\\\\ &\quad=\sum_{i,j}B_{i}^{\bullet j}\vec{g}^i\vec{g}_j=\sum_{i,j}(B_{i}^{\bullet j}\frac{|\vec{g}_j|}{|\vec{g}_i|})\vec{g}\langle i \rangle\vec{g}\langle j \rangle=\sum_{i,j}(B_{i}^{\bullet j}\frac{A_j}{A_i})\vec{g}\langle i \rangle\vec{g}\langle j \rangle \end{aligned} v =i∑vig i=i∑(vi∣g i∣)g ⟨i⟩=i∑(viAi)g ⟨i⟩≜i∑v⟨i⟩g ⟨i⟩ =i∑vig i=i∑(∣g i∣vi)g ⟨i⟩=i∑(Aivi)g ⟨i⟩B=i,j∑Bijg ig j=i,j∑(Bij∣g i∣∣g j∣)g ⟨i⟩g ⟨j⟩=i,j∑(BijAiAj)g ⟨i⟩g ⟨j⟩≜i,j∑B⟨ij⟩g ⟨i⟩g ⟨j⟩=i,j∑Bijg ig j=i,j∑(∣g i∣∣g j∣Bij)g ⟨i⟩g ⟨j⟩=i,j∑(AiAjBij)g ⟨i⟩g ⟨j⟩=i,j∑B∙jig ig j=i,j∑(B∙ji∣g j∣∣g i∣)g ⟨i⟩g ⟨j⟩=i,j∑(B∙jiAjAi)g ⟨i⟩g ⟨j⟩=i,j∑Bi∙jg ig j=i,j∑(Bi∙j∣g i∣∣g j∣)g ⟨i⟩g ⟨j⟩=i,j∑(Bi∙jAiAj)g ⟨i⟩g ⟨j⟩
从上述例子中看出：

张量的物理分量由张量的分量与协变基的模 (或Lamé 常数) 的乘除构成，当张量分量的指标为逆变指标时乘，张量分量为协变指标时除。

3. Pfaff 导数

定义：
1 A i ∂ ( Φ ) ∂ x i = 1 ∣ g i ⃗ ∣ ∂ ( Φ ) ∂ x i ≜ ∂ ( Φ ) ∂ x ⟨ i ⟩ ( 不对 i 求和 ) \frac{1}{A_i}\frac{\partial(\bold \Phi)}{\partial x^i}=\frac{1}{|\vec{g_i}|}\frac{\partial(\bold \Phi)}{\partial x^i}\triangleq\frac{\partial(\bold \Phi)}{\partial x^{\langle i\rangle}}(不对i求和) Ai1∂xi∂(Φ)=∣gi ∣1∂xi∂(Φ)≜∂x⟨i⟩∂(Φ)(不对i求和)
其物理含义为：张量 Φ \bold\Phi Φ 沿坐标线微弧元 d s i = A i d x i ( 不对 i 求和 ) ds^{i}=A_idx^i(不对i求和) dsi=Aidxi(不对i求和) 的变化率 ∂ ( Φ ) ∂ s i \dfrac{\partial(\bold \Phi)}{\partial s^i} ∂si∂(Φ) 。

4. 物理标架上的 Christoffel 符号

类似于自然基矢对坐标的导数：物理标架的基 g ⃗ ⟨ i ⟩ \vec{g}{\langle i\rangle} g ⟨i⟩ 对于坐标线微弧元的Paffa导数仍为向量，可在物理标架下展开，组合系数记作物理标架上的 Christoffel 符号：
∂ g ⃗ ⟨ i ⟩ ∂ x ⟨ j ⟩ = Γ ⟨ i j k ⟩ g ⃗ ⟨ k ⟩ \frac{\partial \vec{g}{\langle i\rangle}}{\partial x^{\langle j\rangle}}=\Gamma{\langle ijk\rangle}\vec{g}{\langle k\rangle} ∂x⟨j⟩∂g ⟨i⟩=Γ⟨ijk⟩g ⟨k⟩
进一步有：
Γ ⟨ i j k ⟩ ≜ ∂ g ⃗ ⟨ i ⟩ ∂ x ⟨ j ⟩ ⋅ g ⃗ ⟨ k ⟩ = ∂ ∂ x j ( g ⃗ i ∣ g ⃗ i ∣ ) ⋅ g ⃗ k ∣ g ⃗ j ∣ ∣ g ⃗ k ∣ = Γ i j , k ∣ g ⃗ i ∣ ∣ g ⃗ j ∣ ∣ g ⃗ k ∣ + g ⃗ i ⋅ g ⃗ k ∣ g ⃗ j ∣ ∣ g ⃗ k ∣ ∂ ∂ x j ( 1 ∣ g ⃗ i ∣ ) = Γ i j , k A i A j A k + g ⃗ i ⋅ g ⃗ k A j A k ∂ ∂ x j ( 1 A i ) ( 不对指标求和 ) \begin{aligned} &\Gamma{\langle ijk\rangle}\triangleq\frac{\partial \vec{g}{\langle i\rangle}}{\partial x^{\langle j\rangle}}\cdot\vec{g}{\langle k\rangle}\\\\ &\qquad\ \ \ =\frac{\partial }{\partial x^j}\left(\frac{\vec{g}_i}{|\vec{g}_i|}\right)\cdot\frac{\vec{g}_k}{|\vec{g}_j||\vec{g}_k|}\\\\ &\qquad\ \ \ =\frac{\Gamma_{ij,k}}{|\vec{g}_i||\vec{g}_j||\vec{g}_k|}+\frac{\vec{g}_i\cdot\vec{g}_k}{|\vec{g}_j||\vec{g}_k|}\frac{\partial }{\partial x^j}\left(\frac{1}{|\vec{g}_i|}\right)\\\\ &\qquad\ \ \ =\frac{\Gamma_{ij,k}}{A_iA_jA_k}+\frac{\vec{g}_i\cdot\vec{g}_k}{A_jA_k}\frac{\partial }{\partial x^j}\left(\frac{1}{A_i}\right)\quad(不对指标求和) \end{aligned} Γ⟨ijk⟩≜∂x⟨j⟩∂g ⟨i⟩⋅g ⟨k⟩ =∂xj∂(∣g i∣g i)⋅∣g j∣∣g k∣g k =∣g i∣∣g j∣∣g k∣Γij,k+∣g j∣∣g k∣g i⋅g k∂xj∂(∣g i∣1) =AiAjAkΓij,k+AjAkg i⋅g k∂xj∂(Ai1)(不对指标求和)
根据上式可知，物理标架上的 Christoffel 符号的性质(不对指标求和)：

(1) 所有指标均不相同时， i ≠ j ≠ k i\ne j\ne k i=j=k
Γ ⟨ i j k ⟩ = 0 \Gamma{\langle ijk\rangle}=0 Γ⟨ijk⟩=0
(2) 第一指标与第三指标不同时，第二指标分别与其它指标相同

j = i ≠ k j=i\ne k j=i=k 时，
Γ ⟨ i i k ⟩ = Γ i i , k A i A i A k = − 1 A i A k ∂ A i ∂ x k = − ∂ l n ( A i ) ∂ x ⟨ k ⟩ \Gamma{\langle iik\rangle}=\frac{\Gamma_{ii,k}}{A_iA_iA_k}=-\frac{1}{A_iA_k}\frac{\partial A_i}{\partial x^k}=-\frac{\partial ln(A_i)}{\partial x^{\langle k\rangle}} Γ⟨iik⟩=AiAiAkΓii,k=−AiAk1∂xk∂Ai=−∂x⟨k⟩∂ln(Ai)
j = k ≠ i j=k\ne i j=k=i 时，
Γ ⟨ i j j ⟩ = Γ i j , j A i A j A j = 1 A i A j ∂ A j ∂ x i = ∂ l n ( A j ) ∂ x ⟨ i ⟩ \Gamma{\langle ijj\rangle}=\frac{\Gamma_{ij,j}}{A_iA_jA_j}=\frac{1}{A_iA_j}\frac{\partial A_j}{\partial x^i}=\frac{\partial ln(A_j)}{\partial x^{\langle i\rangle}} Γ⟨ijj⟩=AiAjAjΓij,j=AiAj1∂xi∂Aj=∂x⟨i⟩∂ln(Aj)

(3) 第二指标与第三指标不同，第一指标分别与其他指标相同

i = j ≠ k i=j\ne k i=j=k (已讨论)
i = k ≠ j i=k\ne j i=k=j
Γ ⟨ i j i ⟩ = Γ i j , i A i A j A i + g ⃗ i ⋅ g ⃗ i A j A i ∂ ∂ x j ( 1 A i ) = 1 A j A i ∂ A i ∂ x j + A i A j ∂ ∂ x j ( 1 A i ) = 0 \Gamma{\langle iji\rangle} =\frac{\Gamma_{ij,i}}{A_iA_jA_i}+\frac{\vec{g}_i\cdot\vec{g}_i}{A_jA_i}\frac{\partial }{\partial x^j}\left(\frac{1}{A_i}\right) =\frac{1}{A_jA_i}\frac{\partial A_i}{\partial x^j}+\frac{A_i}{A_j}\frac{\partial }{\partial x^j}\left(\frac{1}{A_i}\right)=0 Γ⟨iji⟩=AiAjAiΓij,i+AjAig i⋅g i∂xj∂(Ai1)=AjAi1∂xj∂Ai+AjAi∂xj∂(Ai1)=0

(4) 第一指标与第二指标不同，第三指标分别与其他指标相同

k = i ≠ j k=i\ne j k=i=j (已讨论)
k = j ≠ i k=j\ne i k=j=i (已讨论)

(5) 三指标均相同， i = j = k i=j=k i=j=k
Γ ⟨ i i i ⟩ = Γ i i , i A i A i A i + g ⃗ i ⋅ g ⃗ i A i A i ∂ ∂ x j ( 1 A i ) = 1 A i A i ∂ A i ∂ x i + ∂ ∂ x j ( 1 A i ) = 0 \Gamma{\langle iii\rangle} =\frac{\Gamma_{ii,i}}{A_iA_iA_i}+\frac{\vec{g}_i\cdot\vec{g}_i}{A_iA_i}\frac{\partial }{\partial x^j}\left(\frac{1}{A_i}\right) =\frac{1}{A_iA_i}\frac{\partial A_i}{\partial x^i}+\frac{\partial }{\partial x^j}\left(\frac{1}{A_i}\right)=0 Γ⟨iii⟩=AiAiAiΓii,i+AiAig i⋅g i∂xj∂(Ai1)=AiAi1∂xi∂Ai+∂xj∂(Ai1)=0
综上所述，

物理标架上的 Christoffel 符号仅对第一第三个指标具有反对称性，不具有任何对称性。且不为零的分量仅有：
Γ ⟨ i i k ⟩ = − Γ ⟨ k j j ⟩ = − ∂ l n ( A i ) ∂ x ⟨ k ⟩ ( i ≠ k ) \Gamma{\langle iik\rangle}=-\Gamma{\langle kjj\rangle}=-\frac{\partial ln(A_i)}{\partial x^{\langle k\rangle}}\quad(i\ne k) Γ⟨iik⟩=−Γ⟨kjj⟩=−∂x⟨k⟩∂ln(Ai)(i=k)

5. 物理标架上的梯度、散度与旋度

以二阶张量为例说明张量关于坐标的导数：
∂ T ∂ x ⃗ ⟨ k ⟩ = ∂ ∂ x ⃗ ⟨ k ⟩ ( ∑ i j T ⟨ i j ⟩ g ⃗ ⟨ i ⟩ g ⃗ ⟨ j ⟩ ) = ∑ i j [ ∂ T ⟨ i j ⟩ ∂ x ⃗ ⟨ k ⟩ g ⃗ ⟨ i ⟩ g ⃗ ⟨ j ⟩ + T ⟨ i j ⟩ ∂ g ⃗ ⟨ i ⟩ ∂ x ⃗ ⟨ k ⟩ g ⃗ ⟨ j ⟩ + T ⟨ i j ⟩ g ⃗ ⟨ i ⟩ ∂ g ⃗ ⟨ j ⟩ ∂ x ⃗ ⟨ k ⟩ ] = ∑ i j [ ∂ T ⟨ i j ⟩ ∂ x ⃗ ⟨ k ⟩ + T ⟨ m j ⟩ Γ ⟨ m k i ⟩ + T ⟨ i m ⟩ Γ ⟨ m k j ⟩ ] g ⃗ ⟨ i ⟩ g ⃗ ⟨ j ⟩ ≜ ∑ i j T ⟨ i j ⟩ ; ⟨ k ⟩ g ⃗ ⟨ i ⟩ g ⃗ ⟨ j ⟩ ≜ ∑ i j T ⟨ i j ⟩ ∣ ⟨ k ⟩ g ⃗ ⟨ i ⟩ g ⃗ ⟨ j ⟩ ≜ ∑ i j ▽ ⟨ k ⟩ T ⟨ i j ⟩ g ⃗ ⟨ i ⟩ g ⃗ ⟨ j ⟩ \begin{aligned} &\dfrac{\partial\bold T}{\partial\vec{x}^{\langle k\rangle}} =\dfrac{\partial}{\partial\vec{x}^{\langle k\rangle}}(\sum_{ij}T{\langle ij\rangle}\vec{g}{\langle i\rangle}\vec{g}{\langle j\rangle})\\\\ &\quad\quad=\sum_{ij}\left[\dfrac{\partial T{\langle ij\rangle}}{\partial\vec{x}^{\langle k\rangle}}\vec{g}{\langle i\rangle}\vec{g}{\langle j\rangle}+T{\langle ij\rangle}\dfrac{\partial \vec{g}{\langle i\rangle}}{\partial\vec{x}^{\langle k\rangle}}\vec{g}{\langle j\rangle}+T{\langle ij\rangle}\vec{g}{\langle i\rangle}\dfrac{\partial \vec{g}{\langle j\rangle}}{\partial\vec{x}^{\langle k\rangle}}\right]\\\\ &\quad\quad=\sum_{ij}\left[\dfrac{\partial T{\langle ij\rangle}}{\partial\vec{x}^{\langle k\rangle}}+T{\langle mj\rangle}\Gamma{\langle mki\rangle}+T{\langle im\rangle}\Gamma{\langle mkj\rangle}\right]\vec{g}{\langle i\rangle}\vec{g}{\langle j\rangle}\\\\ &\quad\quad\triangleq\sum_{ij}\ T{\langle ij\rangle}_{;\langle k\rangle}\ \vec{g}{\langle i\rangle}\vec{g}{\langle j\rangle}\\\\ &\quad\quad\triangleq\sum_{ij}\ T{\langle ij\rangle}|_{\langle k\rangle}\ \vec{g}{\langle i\rangle}\vec{g}{\langle j\rangle}\\\\ &\quad\quad\triangleq\sum_{ij}\ \bigtriangledown_{\langle k\rangle}T{\langle ij\rangle}\ \vec{g}{\langle i\rangle}\vec{g}{\langle j\rangle} \end{aligned} ∂x ⟨k⟩∂T=∂x ⟨k⟩∂(ij∑T⟨ij⟩g ⟨i⟩g ⟨j⟩)=ij∑[∂x ⟨k⟩∂T⟨ij⟩g ⟨i⟩g ⟨j⟩+T⟨ij⟩∂x ⟨k⟩∂g ⟨i⟩g ⟨j⟩+T⟨ij⟩g ⟨i⟩∂x ⟨k⟩∂g ⟨j⟩]=ij∑[∂x ⟨k⟩∂T⟨ij⟩+T⟨mj⟩Γ⟨mki⟩+T⟨im⟩Γ⟨mkj⟩]g ⟨i⟩g ⟨j⟩≜ij∑ T⟨ij⟩;⟨k⟩ g ⟨i⟩g ⟨j⟩≜ij∑ T⟨ij⟩∣⟨k⟩ g ⟨i⟩g ⟨j⟩≜ij∑ ▽⟨k⟩T⟨ij⟩ g ⟨i⟩g ⟨j⟩
上式说明：

张量的 Pfaff 导数由张量分量的 ”协变Pfaff导数“ 与局部单位正交基组合而成；
协变Pfaff导数包括张量分量的 Pfaff导数与张量分量和物理标架上的 Christoffel 符号乘积；
张量分量和物理标架上的 Christoffel 符号乘积项中张量的物理分量指标依次被替换为 “哑指标”，物理标架上的 Christoffel 符号的第一指标为相同的 “哑指标”，第二指标与Pfaff导数的指标相同。

另外，物理标架间满足：
g ⃗ ⟨ i ⟩ ⋅ g ⃗ ⟨ j ⟩ = δ i j g ⃗ ⟨ i ⟩ × g ⃗ ⟨ j ⟩ = g ⃗ i × g ⃗ j A i A j = ϵ i j k g ⃗ k A i A j = ϵ i j k g ⃗ ⟨ k ⟩ A i A j A j \begin{aligned} &\vec{g}{\langle i\rangle}\cdot\vec{g}{\langle j\rangle}=\delta_{ij}\\\\ &\vec{g}{\langle i\rangle}\times\vec{g}{\langle j\rangle} =\dfrac{\vec{g}_i\times\vec{g}_j}{A_iA_j} =\dfrac{\epsilon_{ijk}\vec{g}^k}{A_iA_j} =\dfrac{\epsilon_{ijk}\vec{g}{\langle k\rangle}}{A_iA_jA_j} \end{aligned} g ⟨i⟩⋅g ⟨j⟩=δijg ⟨i⟩×g ⟨j⟩=AiAjg i×g j=AiAjϵijkg k=AiAjAjϵijkg ⟨k⟩
则
{ ▽ T = g ⃗ i ∂ T ∂ x ⃗ i = g ⃗ ⟨ i ⟩ ∣ g ⃗ i ∣ ∂ T ∂ x ⃗ i = g ⃗ ⟨ i ⟩ ∂ T ∂ x ⃗ ⟨ i ⟩ T ▽ = ∂ T ∂ x ⃗ ⟨ i ⟩ g ⃗ ⟨ i ⟩ { ▽ ⋅ T = g ⃗ ⟨ i ⟩ ⋅ ∂ T ∂ x ⃗ ⟨ i ⟩ T ⋅ ▽ = ∂ T ∂ x ⃗ ⟨ i ⟩ ⋅ g ⃗ ⟨ i ⟩ { ▽ × T = g ⃗ ⟨ i ⟩ × ∂ T ∂ x ⃗ ⟨ i ⟩ T × ▽ = ∂ T ∂ x ⃗ ⟨ i ⟩ × g ⃗ ⟨ i ⟩ \begin{aligned} &\begin{cases} \bigtriangledown\bold T =\vec{g}^i\dfrac{\partial\bold T}{\partial\vec{x}^i} =\dfrac{\vec{g}{\langle i\rangle}}{|\vec{g}_i|}\dfrac{\partial\bold T}{\partial\vec{x}^i} =\vec{g}{\langle i\rangle}\dfrac{\partial\bold T}{\partial\vec{x}^{\langle i\rangle}} \\\\ \bold T\bigtriangledown =\dfrac{\partial\bold T}{\partial\vec{x}^{\langle i\rangle}}\vec{g}{\langle i\rangle} \end{cases}\\\\ &\begin{cases} \bigtriangledown\cdot\bold T =\vec{g}{\langle i\rangle}\cdot\dfrac{\partial\bold T}{\partial\vec{x}^{\langle i\rangle}}\\\\ \bold T\cdot\bigtriangledown =\dfrac{\partial\bold T}{\partial\vec{x}^{\langle i\rangle}}\cdot\vec{g}{\langle i\rangle} \end{cases}\\\\ &\begin{cases} \bigtriangledown\times\bold T =\vec{g}{\langle i\rangle}\times\dfrac{\partial\bold T}{\partial\vec{x}^{\langle i\rangle}} \\\\ \bold T\times\bigtriangledown=\dfrac{\partial\bold T}{\partial\vec{x}^{\langle i\rangle}}\times\vec{g}{\langle i\rangle} \end{cases} \end{aligned} ⎩ ⎨ ⎧▽T=g i∂x i∂T=∣g i∣g ⟨i⟩∂x i∂T=g ⟨i⟩∂x ⟨i⟩∂TT▽=∂x ⟨i⟩∂Tg ⟨i⟩⎩ ⎨ ⎧▽⋅T=g ⟨i⟩⋅∂x ⟨i⟩∂TT⋅▽=∂x ⟨i⟩∂T⋅g ⟨i⟩⎩ ⎨ ⎧▽×T=g ⟨i⟩×∂x ⟨i⟩∂TT×▽=∂x ⟨i⟩∂T×g ⟨i⟩

（二十四）正交曲线坐标系中的物理分量相关推荐

二十四、Struts2中的UI标签
二十四.Struts2中的UI标签 Struts2中UI标签的优势: 数据回显页面布局和排版(Freemark),struts2提供了一些常用的排版(主题:xhtml默认 simple ajax) ...
iOS开发笔记之二十四——Xcode下类中供外部调用的方法添加注释说明技巧
1.使用介绍使用该方式后,一个类再调用其他类的外部方法时,可以不用点进去看这个类的用法等说明,可以直接在外部看到,很方便,类似于iOS系统Cocoa自带方法. 举例如下: 一个VideoChatC ...
mysql循环查询一个表中的数据并进行修改_JavaScript学习笔记（二十四）-- MYSQL基础操作...
MYSQL mysql 是一个数据库的名字和 php 合作的比较好的数据库之前我们说过一个问题,前端向后端索要数据,后端就是去数据库中查询数据,返回给前端接下来就聊聊使用 php 操作数据库 M ...
cad怎么选择一个对象打散vba_CAD制图的二十四字秘诀！
就像练武一样,原来CAD也有相应的二十四字秘诀,没想到吧. 当然,倘若大家觉得记住这"秘诀"就能成为一名出色的CAD设计师,那您就真的想多了,做比记住难很多. 但,如果没有大神总结 ...
Citrix 服务器虚拟化之二十四桌面虚拟化之Remote PC Access
Citrix 服务器虚拟化之二十四桌面虚拟化之Remote PC Access CitrixXenDesktop 的Remote PC Access允许最终用户从几乎任何地方远程登录到办公室的物理 ...
异常处理程序和软件异常——Windows核心编程学习手札之二十四
异常处理程序和软件异常 --Windows核心编程学习手札之二十四 CPU负责捕捉无效内存访问和用0除一个数值这种错误,并相应引发一个异常作为对错误的反应,CPU引发的异常称为硬件异常(hardwar ...
数字图像处理领域的二十四个典型算法及vc实现、第一章
数字图像处理领域的二十四个典型算法及vc实现.第一章作者:July 二零一一年二月二十六日. 参考:百度百科.维基百科.vc数字图像处理. --------------------------- ...
山海演武传·黄道·第一卷雏龙惊蛰第二十二 ~ 二十四章真龙之剑·星墟列将...
山海演武传·黄道·第一卷雏龙惊蛰第二十二 ~ 二十四章真龙之剑·星墟列将 "我是第一次--请你,请你温柔一点--"少女一边娇喘着,一边将稚嫩的红唇紧贴在男子耳边,樱桃小嘴盈溢 ...
[系统安全] 二十四.逆向分析之OllyDbg调试INT3断点、反调试、硬件断点与内存断点
您可能之前看到过我写的类似文章,为什么还要重复撰写呢?只是想更好地帮助初学者了解病毒逆向分析和系统安全,更加成体系且不破坏之前的系列.因此,我重新开设了这个专栏,准备系统整理和深入学习系统安全.逆向分 ...

（二十四）正交曲线坐标系中的物理分量

本文主要内容如下：