习题解答_反正切函数的求导

反正切函数的求导

By Dr. Ma

证明： y=arctan⁡xy=\arctan xy=arctanx
(arctan⁡x)′=反函数求导法则1(tan⁡y)′=1sec⁡2y=cos⁡2y=cos⁡2y1=cos⁡2ycos⁡2y+sin⁡2y=1cos⁡2ycos⁡2y+sin⁡2ycos⁡2y=11+tan⁡2y=y=arctan⁡x11+x2\begin{aligned} (\arctan x )'&\overset{{\color{red} 反函数求导法则}}{=}\frac{1}{(\tan y)'} = \frac{1}{\sec^2y} = \cos^2 y \\ & = \frac{\cos^2 y}{1} = \frac{\cos^2 y}{\cos^2 y+\sin^2 y } \\ & = \frac{1}{\frac{\cos^2 y}{\cos^2 y}+\frac{\sin^2 y}{\cos^2 y} } = \frac{1}{1+\tan^2 y } \\ &\overset{{\color{red} y=\arctan x}}{=} \frac{1}{ 1 + x^2} \end{aligned} (arctanx)′=反函数求导法则(tany)′1=sec2y1=cos2y=1cos2y=cos2y+sin2ycos2y=cos2ycos2y+cos2ysin2y1=1+tan2y1=y=arctanx1+x21

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