1. 非线性规划模型

1.1 非线性规划的定义

目标函数或约束条件中只要包含非线性函数，就称这种规划问题为非线性规划问题(Nonlinear Program, NLP)。
注：自然语言处理(Nature Language Process)也叫NLP。

1.2 NLP的matlab解法

NLP的一般形式：
min⁡f(x)s.t.{Ax≤BAeq⋅x≤BeqC(x)≤0Ceq(x)=0lb≤x≤ub\min f(x)\\ s.t.\begin{cases} Ax\leq B\\ Aeq·x\leq Beq\\ C(x)\leq 0\\ Ceq(x)=0\\ lb\le x\le ub \end{cases}minf(x)s.t.⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧Ax≤BAeq⋅x≤BeqC(x)≤0Ceq(x)=0lb≤x≤ub
其中f(x)f(x)f(x)是标量函数，A,B,Aeq,BeqA, B, Aeq,BeqA,B,Aeq,Beq是相应维数的矩阵和向量，C(x),Ceq(x)C(x),Ceq(x)C(x),Ceq(x)是非线性向量函数。
Matlab 中的命令是:

X=FMINCON(FUN,X0,A,B,Aeq,Beq,LB,UB,NONLCON,OPTIONS)

它的返回值是向量xxx，其中FUNFUNFUN是用MMM文件定义的函数f(x)f (x)f(x)；X0X0X0 是xxx的初始值；A,B,Aeq,BeqA,B,Aeq,BeqA,B,Aeq,Beq定义了线性约束A∗X≤B,Aeq∗X=BeqA* X ≤ B, Aeq*X = BeqA∗X≤B,Aeq∗X=Beq；LB 和 UB 是变量 x 的下界和上界，如果x无下界，则LB的各分量都为-inf，如果 x 无上界，则 UB的各分量都为 inf；NONLCON 是用 M 文件定义的非线性向量函数C(x),Ceq(x) ；OPTIONS定义了优化参数，可以使用Matlab缺省的参数设置。

2. 无约束问题的matlab解法

2.1 无约束极值问题的符号解

对于多元函数求极值的问题，下计算出其Hessian矩阵，如果在驻点处 Hesian阵为正定阵，则在该点取极小值;如果在驻点处Hessian 阵为负定阵，则在该点取极大值;如果在驻点处Hssian阵为不定阵，则该驻点不是极值点。

2.2 无约束极值问题的数值解

matlab中求解无约束极小值问题的函数有fminunc和fminsearch。

[x,fval]=fminunc(fun,x0,options)
[x,fval]=fminsearch(fun,x0,options)

具体使用细节可以在matlab中使用help+函数名的方式查看。

2.3 求函数的零点和方程组的解

对于方程组，可使用syms+符号的形式定义变量，使用solve解方程组。如下例：

3. 约束极值问题

带有约束条件的极值问题称为约束极值问题，也叫规划问题。
求解约束极值问题要比求解无约束极值问题困难得多。为了简化其优化工作，可采用以下方法∶将约束问题化为无约束问题;将非线性规划问题化为线性规划问题，以及能将复杂问题变换为较简单问题的其他方法。
库恩-塔克条件是非线性规划领域中确定某点为最优点的必要条件，但一般它并不是充分条件（对于凸规划，它既是最优点存在的必要条件，同时也是充分条件）。

3.1 二次规划

若某非线性规划的目标函数为自变量x的二次函数，约束条件又全是线性的，就称这种规划为二次规划。
二次规划的数学模型可表述如下：min⁡12xTHx+fTxs.t.{A⋅x≤bAeq⋅x=beqlb≤x≤ub\min \frac{1}{2}x^THx+f^Tx\\s.t.\begin{cases}A\cdot x\le b\\Aeq\cdot x=beq\\lb\le x \le ub\end{cases}min21xTHx+fTxs.t.⎩⎪⎨⎪⎧A⋅x≤bAeq⋅x=beqlb≤x≤ubmatlab命令如下：

[x,fval]=quadprog(H,f,A,b,Aeq,beq,lb,ub,x0,options)

3.2 罚函数法

罚函数法，可将非线性规划问题的求解，转化为求解一系列无约束极值问题，因而也称这种方法为序列无约束最小化技术，简记为 SUMT (Sequential Unconstrained Minization Technique)。其思想是，利用问题中的约束函数作出适当的罚函数，由此构造出带参数的增广目标函数，把问题转化为无约束非线性规划问题。主要有两种形式，一种叫外罚函数法，另一种叫内罚函数法，下面介绍外罚函数法。

考虑问题：
min⁡f(x)s.t.{gi(x)≤0,i=1⋅⋅⋅rhj(x)≥0,j=1⋅⋅⋅skm(x)=0,m=1⋅⋅⋅t\min f(x)\\ s.t.\begin{cases} g_i(x)\leq0, i=1\cdot\cdot\cdot r\\ h_j(x)\geq0, j=1\cdot\cdot\cdot s\\ k_m(x)=0, m=1\cdot\cdot\cdot t \end{cases}minf(x)s.t.⎩⎪⎨⎪⎧gi(x)≤0,i=1⋅⋅⋅rhj(x)≥0,j=1⋅⋅⋅skm(x)=0,m=1⋅⋅⋅t
取一个充分大的数 M > 0 ，构造函数
P(x,M)=f(x)+M∑i=1rmax⁡(gi(x),0)−M∑i=1smax⁡(hi(x),0)+M∑i=1t∣∣ki(x)∣∣P(x,M)=f(x)+M\sum\limits_{i=1}^{r}\max(g_i(x),0)-M\sum\limits_{i=1}^{s}\max(h_i(x),0)+M\sum\limits_{i=1}^{t}||k_i(x)||P(x,M)=f(x)+Mi=1∑rmax(gi(x),0)−Mi=1∑smax(hi(x),0)+Mi=1∑t∣∣ki(x)∣∣。

则以增广目标函数 P(x, M ) 为目标函数的无约束极值问题minP(x,M )的最优解 x 也是原问题的最优解。

3.3 Matlab求约束极值问题

在 Matlab 优化工具箱中，用于求解约束最优化问题的函数有：fminbnd、fmincon、quadprog、fseminf、fminimax，详细使用方法可在matlab中使用help/doc + 函数名的方式查看.。
fminbnd函数
求单变量非线性函数在区间上的极小值

[X,FVAL] = FMINBND(FUN,x1,x2,OPTIONS)

fseminf函数

X=FSEMINF(FUN,X0,NTHETA,SEMINFCON,A,B,Aeq,Beq)

fminimax函数

X=FMINIMAX(FUN,X0,A,B,Aeq,Beq,LB,UB,NONLCON)

3.4 Matlab 优化工具箱的用户图形界面解法

Matlab 优化工具箱中的 optimtool 命令提供了优化问题的用户图形界面解法。optimtool 可应用到所有优化问题的求解，计算结果可以输出到 Matlab 工作空间中。

4. 飞行管理问题

在约10000m高空的某边长160km的正方形区域内，经常有若干架飞机作水平飞行。区域内每架飞机的位置和速度向量均由计算机记录其数据，以便进行飞行管理。当一架欲进入该区域的飞机到达区域边缘时，记录其数据后，要立即计算并判断是否会与区域内的飞机发生碰撞。如果会碰撞，则应计算如何调整各架（包括新进入的）飞机飞行的方向角，以避免磁撞。现假定条件如下∶
（1）不碰撞的标准为任意两架飞机的距离大于8km。
（2）飞机飞行方向角调整的幅度不应超过30°。
（3）所有飞机飞行速度均为800km/h。
（4）进入该区域的飞机在到达区域边缘时，与区域内飞机的距离应在60km以上。（5）最多需考虑6架飞机。
（6）不必考虑飞机离开此区域后的状况。
请对这个避免碰撞的飞行管理问题建立数学模型，列出计算步骤，对以下数据进行计算（方向角误差不超过0.01 度），要求飞机飞行方向角调整的幅度尽量小。设该区域4个顶点的坐标为（0，0），（160，0），（160，160），（0，160）。记录数据见表3.1。

最好再编写合适的matlab或Lingo程序去求解。

参考资料

海森矩阵

原课本习题及代码

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