RSA加密算法讲解及C++实现
目录
一.加密原理
二.C++实现
3.1实现加解密算法
加解密算法示例:
2.2实现pqed的生成
2.2.1找出质数P、Q
2.2.2计算公共模数N=P*Q
2.2.3欧拉函数F(N)=(P-1)*(Q-1)
2.2.4计算公钥E
2.2.5 计算私钥D
完整代码
一.加密原理
此步骤讲解建立在了解欧拉函数等数学基础和密码学基础上的。
步骤 | 举例 |
1.找出质数 P、Q | 设P=1 Q=11 |
2.计算公共模数 N=P*Q | N=P*Q=3*11=33 |
3.欧拉函数 F(N)=(P-1)*(Q-1) | F(33)=F(3)*F(11)=(3-1)*(11-1)=20 |
4.计算公钥E 1<E<F(N),E与FN互质 | E可取3.7.9.11.13.17.19 假设E=3 |
5.计算私钥D E*D%F(N)=1 | 3*D%20=1 故D取7 |
6.公钥加密 C=modN | 假设M=2 C=8 |
7.私钥解密 M=modN | 故解得M=2 |
二.C++实现
实现步骤:首先实现加解密算法、接着实现pqed的生成
其中包括:扩展欧几里得算法、加密函数、解密函数、质数的判定函数、互质的判断等独立函数
3.1实现加解密算法
用最基本思路来做加解密很简单,即为上述6、7步的实现。
void RSAEnc(int& num,int e,int n){unsigned long temp = (unsigned long)pow(num,e) % n;num = (int)temp;
}
但是很遗憾的是,稍微大一点的数字,都会出现溢出问题。因此,为防止空间时间复杂性过大,在此我们采用二分快速幂算法,用于加快幂次取模速度。
参考博文:快速幂算法(全网最详细地带你从零开始一步一步优化)_刘扬俊的博客-CSDN博客_快速幂算法
什么?没看懂?什么?太长了看不下去?行吧行吧,我们来总结下:
首先,最重要的是了解取模运算运算法则【原理感兴趣的可以自行百度】:
接着根据这个法则,我们可以根据RSA算法要求推出(E个(M%N)):
明白这一点我们就可以,使用取模算法优化我们的代码了,如果使用的指数不太大的完全够用。但是如果幂数很大的情况,还是可能出现溢出问题的。
void RSAEnc(int& num,int e,int n){
//取模运算的运算法则int temp = 1;for(int i=1;i<=e;i++){temp = temp * (num % n);}num = temp % n;
}
因此我们使用能算出指数非常大的快速幂算法,它通过减小指数的大小,使我们的循环次数大大减小了。【二次快速幂过程主要看上述博文的动画演示,这个动画比较通俗易懂】
但实际上,最重要思想还的就是咱们上述的取模运算运算法则和指数分半,底数平方。
最终优化后即为:
加解密算法示例:
void RSAEnc(int& num,int e,int n){
//取模运算的运算法则int temp = 1;while(e > 0){if(e & 1){temp = temp*num%n;}e >>= 1;num = num*num%n;}num = temp;
}
2.2实现pqed的生成
对于pqed的生成我的实现思路是根据RSA加密原理的步骤一步步往下撸。
2.2.1找出质数P、Q
我使用的是p、q由用户输入,因此仅需要判定p、q是否为素数
示例:
bool IsPrime(int n){if(n <= 1)return false;for(int i=2;i<sqrt(n);i++){if((n%i) == 0)return false;}return true;
}
2.2.2计算公共模数N=P*Q
这不用说了吧
2.2.3欧拉函数F(N)=(P-1)*(Q-1)
这也不用说了吧
2.2.4计算公钥E
分为随机数的生成与互质的判定。
随机数生成:rand随机生成的数的取值范围为[0,x),故x取fn-2,最终结果再加2,e的取值范围为[2,fn)中的整数。
srand((int)time(0));e = rand()%(fn-2)+2;
互质的判定:辗转相除法求解最大公约数,当余数为0,除数为1时,两数互质。通俗点就是,这俩数的最大公约数为1,那可不就是互质嘛。
//互质的判断
bool IsCOPrime(int x,int y){int z;while(x%y !=0){z = x%y;x = y;y = z;}if(z == 1)return true;return false;
}
2.2.5 计算私钥D
在敲代码的时候,看了很多的讲关于扩展欧几里得算法的文章,通俗易懂的很少,推荐这一篇:扩展欧几里德算法详解_zhj5chengfeng的博客-CSDN博客_扩展欧几里得算法
我们用的是对乘法逆元的计算:
可以表示为:
再对比上述文章中的:
很熟悉了是不是,我们直接套用就ok了。
int e_gcd(int a,int b,int&x,int&y){if(b == 0){x = 1;y = 0;return a;}int ans = e_gcd(b,a%b,x,y);int temp = x;x = y;y = temp-a/b*y;return ans;
}
//生成私钥d=cal(e,fn);
int cal(int a,int m){int x,y;int gcd = e_gcd(a,m,x,y);if(1%gcd !=0) return -1;x *= 1/gcd;m = abs(m);int ans = x%m;if(ans <= 0) ans +=m;return ans;
}
完整代码
完整cpp看这里
不过我相信,聪明的你,看完了一定能自己写出来的对吧?看什么看,还不点赞!
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