RSA加密算法——密码学笔记（四）

一、数学知识

1. 质数

质数，又称素数，指在一个大于1的自然数中，除了1和此整数自身外，不能被其他自然数整除的数。

2. 互质数

百度百科上的解释是：公因数只有1的两个数，叫做互质数。

维基百科上的解释是：互质，又称互素。若N个整数的最大公因子是1，则称这N个整数互质。

常见的互质数判断方法主要有以下几种：

两个不同的质数一定是互质数。例如，2与7、13与19。

一个质数，另一个不为它的倍数，这两个数为互质数。例如，3与10、5与 26。

相邻的两个自然数是互质数。如 15与 16。

相邻的两个奇数是互质数。如 49与 51。

较大数是质数的两个数是互质数。如97与88。

小数是质数，大数不是小数的倍数的两个数是互质数。例如 7和 16。

2和任何奇数是互质数。例如2和87。

1不是质数也不是合数，它和任何一个自然数在一起都是互质数。如1和9908。

辗转相除法。

3. 模运算

模运算：即求余运算，“模”是“mod”的音译。和模运算紧密相关的一个概念是“同余”，当两个整数除以同一个正整数，若得相同余数，则称这两个整数同余。

如：两个整数a、b，若它们除以正整数m所得的余数相同，则称a、b对于模m同余，记为a=b(mod m)，读为a与b关于模m同余。例如26=14（mod 12）

二、RSA加密算法原理

1. RSA加密

通式：

即RSA加密就是对明文进行E次方后除以N后求余数的过程。其中，E是加密（Encryption）的首字母，N是数字（Number）的首字母。

由此可知，只要知道E、N就可以进行RSA加密，所以说E、N就是RSA加密的密钥，E和N的组合就是公钥，记为

公钥=（E,N）

2. RSA解密

通式：

即RSA解密就是对密文进行D次方除以N后求余数的过程。其中，D是解密（Decryption）的首字母。

由此可知，只要知道D、N就可以进行RSA解密，所以说D、N就是RSA解密的密钥，D和N的组合就是私钥，记为

私钥=（D,N）

3. 生成密钥对

密钥对=（E,D,N）

（1）求N
准备两个质数p、q（注意不能太小，否则容易破解），求

N=p*q

（2）求E

建立一个中间数L，使得L是p-1和q-1的最小公倍数，即

L=(p-1)*(q-1)

满足以下两个条件的数即为E：

1<E<L

gcd(E,L)=1

其中，需要满足E和L的最大公约数为1是为了保证一定存在D。

（3）求D

满足以下两个条件的数即为D：

1<D<L
E*D mod L ＝ 1或E*D=1 (mod L)

E*D mod L=1D等价于E*D-1=kL，k为常数，由此可解出D。

密钥对的求法
求N	N=p*q；p，q为质数，且p不等于q
求L	L＝（p－1）（q－1）
求E	1 < E < L，gcd（E，L）=1；E，L最大公约数为1（E和L互质）
求D	1 < D < L，E*D mod L ＝ 1

4. 实际举例

假设Alice想要通过一个不可靠的媒体接收Bob的一条私人讯息。她以以上的方式来产生一个公钥和一个私钥：

（1）随意选择两个大的质数p和q，p不等于q，计算N=p*q。比如选取61和53，则N=61*53=3233，化为二进制则是110010100001，一共12位，所以这个密钥就是12位，实际应用中，RSA密钥一般是1024位，重要场合则是2048位。

（2）求得L =lcm（p-1，q-1）

（3）求E：1 < E < L，gcd（E，L）=1（即L和E互质）

（4）求D：1 < D < L，E*D mod L ＝ 1

（5）将 p 和 q 的记录销毁，得到公钥=（E，N），私钥=（D，N），Alice将她的公钥传给Bob，而将她的私钥藏起来。

假设Bob想给Alice送一个消息m，他知道Alice产生的N和E，就以下加密通式对明文进行加密，得到密文后就传递给Alice：

Alice得到Bob发送过来的密文后就可以利用以下解密通式，结合自己保存的密钥来进行解密：

RSA也可以用来为一个消息署名。假如甲想给乙传递一个署名的消息的话，那么她可以为她的消息计算一个散列值(Message digest)，然后用她的密钥(private key)加密这个散列值并将这个“署名”加在消息的后面。这个消息只有用她的公钥才能被解密。乙获得这个消息后可以用甲的公钥解密这个散列值，然后将这个数据与他自己为这个消息计算的散列值相比较。假如两者相符的话，那么他就可以知道发信人持有甲的密钥，以及这个消息在传播路径上没有被篡改过。

三、RSA加密算法的特点

1. RSA算法的特点

这种算法非常可靠，密钥越长，它就越难破解。根据已经披露的文献，目前被破解的最长RSA密钥是768个二进制位。也就是说，长度超过768位的密钥，还无法破解（至少没人公开宣布）。因此可以认为，1024位的RSA密钥基本安全，2048位的密钥极其安全。

2. RSA加密算法的安全性

已知公钥=（E，N）公开，私钥=（D，N）保密，假设在已知E，N的情况下，能否推出D?

分析：

（1）由E*D mod L=1可知，只有知道E和L，才能算出D。

（2）由L=lcm（p-1，q-1）可知，只有知道p和q，才能算出L。

（3）由N=p*q可知，在知道N的情况下，只有将N因数分解，才能算出p和q。

结论：若N可以被因数分解，D就可以被算出，即私钥被破解。由于对极大整数进行因数分解的难度很大，这就决定了RSA算法的安全性。

当p和q是一个大素数的时候，从它们的积pq去分解因子p和q，这是一个公认的数学难题。然而，虽然RSA的安全性依赖于大数的因子分解，但并没有从理论上证明破译RSA的难度与大数分解难度等价。

1994年彼得·秀尔（Peter Shor）证明一台量子计算机可以在多项式时间内进行因数分解。假如量子计算机有朝一日可以成为一种可行的技术的话，那么秀尔的算法可以淘汰RSA和相关的衍生算法。（即依赖于分解大整数困难性的加密算法）

另外，假如N的长度小于或等于256位，那么用一台个人电脑在几个小时内就可以分解它的因子了。1999年，数百台电脑合作分解了一个512位长的N。1997年后开发的系统，用户应使用1024位密钥，证书认证机构应用2048位或以上。

3. RSA加密算法的缺点

虽然RSA加密算法作为目前最优秀的公钥方案之一，在发表三十多年的时间里，经历了各种攻击的考验，逐渐为人们接受。但是，也不是说RSA没有任何缺点。由于没有从理论上证明破译RSA的难度与大数分解难度的等价性。所以，RSA的重大缺陷是无法从理论上把握它的保密性能如何。在实践上，RSA也有一些缺点：

（1）产生密钥很麻烦，受到素数产生技术的限制，因而难以做到一次一密；

（2）分组长度太大，为保证安全性，n 至少也要 600 bits 以上，使运算代价很高，尤其是速度较慢。