前缀、中缀、后缀表达式

关键字：概念, 前缀表达式, 前缀记法, 中缀表达式, 中缀记法, 波兰式, 后缀表达式, 后缀记法, 逆波兰式

它们都是对表达式的记法，因此也被称为前缀记法、中缀记法和后缀记法。它们之间的区别在于运算符相对与操作数的位置不同：前缀表达式的运算符位于与其相关的操作数之前；中缀和后缀同理。

举例：
(3 + 4) × 5 - 6 就是中缀表达式
- × + 3 4 5 6 前缀表达式
3 4 + 5 × 6 - 后缀表达式

中缀表达式（中缀记法）
中缀表达式是一种通用的算术或逻辑公式表示方法，操作符以中缀形式处于操作数的中间。中缀表达式是人们常用的算术表示方法。
虽然人的大脑很容易理解与分析中缀表达式，但对计算机来说中缀表达式却是很复杂的，因此计算表达式的值时，通常需要先将中缀表达式转换为前缀或后缀表达式，然后再进行求值。对计算机来说，计算前缀或后缀表达式的值非常简单。

前缀表达式（前缀记法、波兰式）
前缀表达式的运算符位于操作数之前。

前缀表达式的计算机求值：
从右至左扫描表达式，遇到数字时，将数字压入堆栈，遇到运算符时，弹出栈顶的两个数，用运算符对它们做相应的计算（栈顶元素 op 次顶元素），并将结果入栈；重复上述过程直到表达式最左端，最后运算得出的值即为表达式的结果。
例如前缀表达式“- × + 3 4 5 6”：
(1) 从右至左扫描，将6、5、4、3压入堆栈；
(2) 遇到+运算符，因此弹出3和4（3为栈顶元素，4为次顶元素，注意与后缀表达式做比较），计算出3+4的值，得7，再将7入栈；
(3) 接下来是×运算符，因此弹出7和5，计算出7×5=35，将35入栈；
(4) 最后是-运算符，计算出35-6的值，即29，由此得出最终结果。
可以看出，用计算机计算前缀表达式的值是很容易的。

将中缀表达式转换为前缀表达式：
遵循以下步骤：
(1) 初始化两个栈：运算符栈S1和储存中间结果的栈S2；
(2) 从右至左扫描中缀表达式；
(3) 遇到操作数时，将其压入S2；
(4) 遇到运算符时，比较其与S1栈顶运算符的优先级：
(4-1) 如果S1为空，或栈顶运算符为右括号“)”，则直接将此运算符入栈；
(4-2) 否则，若优先级比栈顶运算符的较高或相等，也将运算符压入S1；
(4-3) 否则，将S1栈顶的运算符弹出并压入到S2中，再次转到(4-1)与S1中新的栈顶运算符相比较；
(5) 遇到括号时：
(5-1) 如果是右括号“)”，则直接压入S1；
(5-2) 如果是左括号“(”，则依次弹出S1栈顶的运算符，并压入S2，直到遇到右括号为止，此时将这一对括号丢弃；
(6) 重复步骤(2)至(5)，直到表达式的最左边；
(7) 将S1中剩余的运算符依次弹出并压入S2；
(8) 依次弹出S2中的元素并输出，结果即为中缀表达式对应的前缀表达式。
例如，将中缀表达式“1+((2+3)×4)-5”转换为前缀表达式的过程如下：

扫描到的元素	S2(栈底->栈顶)	S1 (栈底->栈顶)	说明
5	5	空	数字，直接入栈
-	5	-	S1为空，运算符直接入栈
)	5	- )	右括号直接入栈
4	5 4	- )	数字直接入栈
×	5 4	- ) ×	S1栈顶是右括号，直接入栈
)	5 4	- ) × )	右括号直接入栈
3	5 4 3	- ) × )	数字
+	5 4 3	- ) × ) +	S1栈顶是右括号，直接入栈
2	5 4 3 2	- ) × ) +	数字
(	5 4 3 2 +	- ) ×	左括号，弹出运算符直至遇到右括号
(	5 4 3 2 + ×	-	同上
+	5 4 3 2 + ×	- +	优先级与-相同，入栈
1	5 4 3 2 + × 1	- +	数字
到达最左端	5 4 3 2 + × 1 + -	空	S1中剩余的运算符

因此结果为“- + 1 × + 2 3 4 5”。

后缀表达式（后缀记法、逆波兰式）
后缀表达式与前缀表达式类似，只是运算符位于操作数之后。

后缀表达式的计算机求值：
与前缀表达式类似，只是顺序是从左至右：
从左至右扫描表达式，遇到数字时，将数字压入堆栈，遇到运算符时，弹出栈顶的两个数，用运算符对它们做相应的计算（次顶元素 op 栈顶元素），并将结果入栈；重复上述过程直到表达式最右端，最后运算得出的值即为表达式的结果。
例如后缀表达式“3 4 + 5 × 6 -”：
(1) 从左至右扫描，将3和4压入堆栈；
(2) 遇到+运算符，因此弹出4和3（4为栈顶元素，3为次顶元素，注意与前缀表达式做比较），计算出3+4的值，得7，再将7入栈；
(3) 将5入栈；
(4) 接下来是×运算符，因此弹出5和7，计算出7×5=35，将35入栈；
(5) 将6入栈；
(6) 最后是-运算符，计算出35-6的值，即29，由此得出最终结果。

将中缀表达式转换为后缀表达式：
与转换为前缀表达式相似，遵循以下步骤：
(1) 初始化两个栈：运算符栈S1和储存中间结果的栈S2；
(2) 从左至右扫描中缀表达式；
(3) 遇到操作数时，将其压入S2；
(4) 遇到运算符时，比较其与S1栈顶运算符的优先级：
(4-1) 如果S1为空，或栈顶运算符为左括号“(”，则直接将此运算符入栈；
(4-2) 否则，若优先级比栈顶运算符的高，也将运算符压入S1（注意转换为前缀表达式时是优先级较高或相同，而这里则不包括相同的情况）；
(4-3) 否则，将S1栈顶的运算符弹出并压入到S2中，再次转到(4-1)与S1中新的栈顶运算符相比较；
(5) 遇到括号时：
(5-1) 如果是左括号“(”，则直接压入S1；
(5-2) 如果是右括号“)”，则依次弹出S1栈顶的运算符，并压入S2，直到遇到左括号为止，此时将这一对括号丢弃；
(6) 重复步骤(2)至(5)，直到表达式的最右边；
(7) 将S1中剩余的运算符依次弹出并压入S2；
(8) 依次弹出S2中的元素并输出，结果的逆序即为中缀表达式对应的后缀表达式（转换为前缀表达式时不用逆序）。

例如，将中缀表达式“1+((2+3)×4)-5”转换为后缀表达式的过程如下：

扫描到的元素	S2(栈底->栈顶)	S1 (栈底->栈顶)	说明
1	1	空	数字，直接入栈
+	1	+	S1为空，运算符直接入栈
(	1	+ (	左括号，直接入栈
(	1	+ ( (	同上
2	1 2	+ ( (	数字
+	1 2	+ ( ( +	S1栈顶为左括号，运算符直接入栈
3	1 2 3	+ ( ( +	数字
)	1 2 3 +	+ (	右括号，弹出运算符直至遇到左括号
×	1 2 3 +	+ ( ×	S1栈顶为左括号，运算符直接入栈
4	1 2 3 + 4	+ ( ×	数字
)	1 2 3 + 4 ×	+	右括号，弹出运算符直至遇到左括号
-	1 2 3 + 4 × +	-	-与+优先级相同，因此弹出+，再压入-
5	1 2 3 + 4 × + 5	-	数字
到达最右端	1 2 3 + 4 × + 5 -	空	S1中剩余的运算符

因此结果为“1 2 3 + 4 × + 5 -”（注意需要逆序输出）。

编写Java程序将一个中缀表达式转换为前缀表达式和后缀表达式，并计算表达式的值。其中的toPolishNotation()方法将中缀表达式转换为前缀表达式（波兰式）、toReversePolishNotation()方法则用于将中缀表达式转换为后缀表达式（逆波兰式）：

注：
(1) 程序很长且注释比较少，但如果将上面的理论内容弄懂之后再将程序编译并运行起来，还是比较容易理解的。有耐心的话可以研究一下。(2) 此程序是笔者为了说明上述概念而编写，仅做了简单的测试，不保证其中没有Bug，因此不要将其用于除研究之外的其他场合。

package qmk.simple_test;
import java.util.Scanner;
import java.util.Stack;
/*** Example of converting an infix-expression to* Polish Notation (PN) or Reverse Polish Notation (RPN).* Written in 2011-8-25* @author QiaoMingkui*/
public class Calculator {public static final String USAGE = "== usage ==\n"+ "input the expressions, and then the program "+ "will calculate them and show the result.\n"+ "input 'bye' to exit.\n";/*** @param args*/public static void main(String[] args) {System.out.println(USAGE);Scanner scanner = new Scanner(System.in);String input = "";final String CLOSE_MARK = "bye";System.out.println("input an expression:");input = scanner.nextLine();while (input.length() != 0&& !CLOSE_MARK.equals((input))) {System.out.print("Polish Notation (PN):");try {toPolishNotation(input);} catch (NumberFormatException e) {System.out.println("\ninput error, not a number.");} catch (IllegalArgumentException e) {System.out.println("\ninput error:" + e.getMessage());} catch (Exception e) {System.out.println("\ninput error, invalid expression.");}System.out.print("Reverse Polish Notation (RPN):");try {toReversePolishNotation(input);} catch (NumberFormatException e) {System.out.println("\ninput error, not a number.");} catch (IllegalArgumentException e) {System.out.println("\ninput error:" + e.getMessage());} catch (Exception e) {System.out.println("\ninput error, invalid expression.");}System.out.println("input a new expression:");input = scanner.nextLine();}System.out.println("program exits");}/*** parse the expression , and calculate it.* @param input* @throws IllegalArgumentException* @throws NumberFormatException*/private static void toPolishNotation(String input)throws IllegalArgumentException, NumberFormatException {int len = input.length();char c, tempChar;Stack<Character> s1 = new Stack<Character>();Stack<Double> s2 = new Stack<Double>();Stack<Object> expression = new Stack<Object>();double number;int lastIndex = -1;for (int i=len-1; i>=0; --i) {c = input.charAt(i);if (Character.isDigit(c)) {lastIndex = readDoubleReverse(input, i);number = Double.parseDouble(input.substring(lastIndex, i+1));s2.push(number);i = lastIndex;if ((int) number == number)expression.push((int) number);elseexpression.push(number);} else if (isOperator(c)) {while (!s1.isEmpty()&& s1.peek() != ')'&& priorityCompare(c, s1.peek()) < 0) {expression.push(s1.peek());s2.push(calc(s2.pop(), s2.pop(), s1.pop()));}s1.push(c);} else if (c == ')') {s1.push(c);} else if (c == '(') {while ((tempChar=s1.pop()) != ')') {expression.push(tempChar);s2.push(calc(s2.pop(), s2.pop(), tempChar));if (s1.isEmpty()) {throw new IllegalArgumentException("bracket dosen't match, missing right bracket ')'.");}}} else if (c == ' ') {// ignore} else {throw new IllegalArgumentException("wrong character '" + c + "'");}}while (!s1.isEmpty()) {tempChar = s1.pop();expression.push(tempChar);s2.push(calc(s2.pop(), s2.pop(), tempChar));}while (!expression.isEmpty()) {System.out.print(expression.pop() + " ");}double result = s2.pop();if (!s2.isEmpty())throw new IllegalArgumentException("input is a wrong expression.");System.out.println();if ((int) result == result)System.out.println("the result is " + (int) result);elseSystem.out.println("the result is " + result);}/*** parse the expression, and calculate it.* @param input* @throws IllegalArgumentException* @throws NumberFormatException*/private static void toReversePolishNotation(String input)throws IllegalArgumentException, NumberFormatException {int len = input.length();char c, tempChar;Stack<Character> s1 = new Stack<Character>();Stack<Double> s2 = new Stack<Double>();double number;int lastIndex = -1;for (int i=0; i<len; ++i) {c = input.charAt(i);if (Character.isDigit(c) || c == '.') {lastIndex = readDouble(input, i);number = Double.parseDouble(input.substring(i, lastIndex));s2.push(number);i = lastIndex - 1;if ((int) number == number)System.out.print((int) number + " ");elseSystem.out.print(number + " ");} else if (isOperator(c)) {while (!s1.isEmpty()&& s1.peek() != '('&& priorityCompare(c, s1.peek()) <= 0) {System.out.print(s1.peek() + " ");double num1 = s2.pop();double num2 = s2.pop();s2.push(calc(num2, num1, s1.pop()));}s1.push(c);} else if (c == '(') {s1.push(c);} else if (c == ')') {while ((tempChar=s1.pop()) != '(') {System.out.print(tempChar + " ");double num1 = s2.pop();double num2 = s2.pop();s2.push(calc(num2, num1, tempChar));if (s1.isEmpty()) {throw new IllegalArgumentException("bracket dosen't match, missing left bracket '('.");}}} else if (c == ' ') {// ignore} else {throw new IllegalArgumentException("wrong character '" + c + "'");}}while (!s1.isEmpty()) {tempChar = s1.pop();System.out.print(tempChar + " ");double num1 = s2.pop();double num2 = s2.pop();s2.push(calc(num2, num1, tempChar));}double result = s2.pop();if (!s2.isEmpty())throw new IllegalArgumentException("input is a wrong expression.");System.out.println();if ((int) result == result)System.out.println("the result is " + (int) result);elseSystem.out.println("the result is " + result);}/*** calculate the two number with the operation.* @param num1* @param num2* @param op* @return* @throws IllegalArgumentException*/private static double calc(double num1, double num2, char op)throws IllegalArgumentException {switch (op) {case '+':return num1 + num2;case '-':return num1 - num2;case '*':return num1 * num2;case '/':if (num2 == 0) throw new IllegalArgumentException("divisor can't be 0.");return num1 / num2;default:return 0; // will never catch up here}}/*** compare the two operations' priority.* @param c* @param peek* @return*/private static int priorityCompare(char op1, char op2) {switch (op1) {case '+': case '-':return (op2 == '*' || op2 == '/' ? -1 : 0);case '*': case '/':return (op2 == '+' || op2 == '-' ? 1 : 0);}return 1;}/*** read the next number (reverse)* @param input* @param start* @return* @throws IllegalArgumentException*/private static int readDoubleReverse(String input, int start)throws IllegalArgumentException {int dotIndex = -1;char c;for (int i=start; i>=0; --i) {c = input.charAt(i);if (c == '.') {if (dotIndex != -1)throw new IllegalArgumentException("there have more than 1 dots in the number.");elsedotIndex = i;} else if (!Character.isDigit(c)) {return i + 1;} else if (i == 0) {return 0;}}throw new IllegalArgumentException("not a number.");}/*** read the next number* @param input* @param start* @return* @throws IllegalArgumentException*/private static int readDouble(String input, int start)throws IllegalArgumentException {int len = input.length();int dotIndex = -1;char c;for (int i=start; i<len; ++i) {c = input.charAt(i);if (c == '.') {if (dotIndex != -1)throw new IllegalArgumentException("there have more than 1 dots in the number.");else if (i == len - 1)throw new IllegalArgumentException("not a number, dot can't be the last part of a number.");elsedotIndex = i;} else if (!Character.isDigit(c)) {if (dotIndex == -1 || i - dotIndex > 1)return i;elsethrow new IllegalArgumentException("not a number, dot can't be the last part of a number.");} else if (i == len - 1) {return len;}}throw new IllegalArgumentException("not a number.");}/*** return true if the character is an operator.* @param c* @return*/private static boolean isOperator(char c) {return (c=='+' || c=='-' || c=='*' || c=='/');}
}

下面是程序运行结果（绿色为用户输入）：

== usage ==

input the expressions, and then the program will calculate them and show the result.

input 'bye' to exit.

input an expression:

3.8+5.3

Polish Notation (PN):+ 3.8 5.3

the result is 9.1

Reverse Polish Notation (RPN):3.8 5.3 +

the result is 9.1

input a new expression:

5*(9.1+3.2)/(1-5+4.88)

Polish Notation (PN):/ * 5 + 9.1 3.2 + - 1 5 4.88

the result is 69.88636363636364

Reverse Polish Notation (RPN):5 9.1 3.2 + * 1 5 - 4.88 + /

the result is 69.88636363636364

input a new expression:

1+((2+3)*4)-5

Polish Notation (PN):- + 1 * + 2 3 4 5

the result is 16

Reverse Polish Notation (RPN):1 2 3 + 4 * + 5 -

the result is 16

input a new expression:

bye

program exits

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