应用场景-公交站问题

看一个应用场景和问题：

某城市新增7个站点(A, B, C, D, E, F, G) ，现在需要修路把7个站点连通
各个站点的距离用边线表示(权) ，比如 A – B 距离 12公里
问：如何修路保证各个站点都能连通，并且总的修建公路总里程最短?

克鲁斯卡尔算法介绍

克鲁斯卡尔(Kruskal)算法，是用来求加权连通图的最小生成树的算法。
基本思想：按照权值从小到大的顺序选择n-1条边，并保证这n-1条边不构成回路
具体做法：首先构造一个只含n个顶点的森林，然后依权值从小到大从连通网中选择边加入到森林中，并使森林中不产生回路，直至森林变成一棵树为止

克鲁斯卡尔算法图解说明

以城市公交站问题来图解说明克鲁斯卡尔算法的原理和步骤：

在含有n个顶点的连通图中选择n-1条边，构成一棵极小连通子图，并使该连通子图中n-1条边上权值之和达到最小，则称其为连通网的最小生成树。
例如，对于如上图G4所示的连通网可以有多棵权值总和不相同的生成树。

克鲁斯卡尔算法图解

以上图G4为例，来对克鲁斯卡尔进行演示(假设，用数组R保存最小生成树结果)。
文字描述
第1步：将边<E,F>加入R中。
边<E,F>的权值最小，因此将它加入到最小生成树结果R中。
第2步：将边<C,D>加入R中。
上一步操作之后，边<C,D>的权值最小，因此将它加入到最小生成树结果R中。
第3步：将边<D,E>加入R中。
上一步操作之后，边<D,E>的权值最小，因此将它加入到最小生成树结果R中。
第4步：将边<B,F>加入R中。
上一步操作之后，边<C,E>的权值最小，但<C,E>会和已有的边构成回路；因此，跳过边<C,E>。同理，跳过边<C,F>。将边<B,F>加入到最小生成树结果R中。
第5步：将边<E,G>加入R中。
上一步操作之后，边<E,G>的权值最小，因此将它加入到最小生成树结果R中。
第6步：将边<A,B>加入R中。
上一步操作之后，边<F,G>的权值最小，但<F,G>会和已有的边构成回路；因此，跳过边<F,G>。同理，跳过边<B,C>。将边<A,B>加入到最小生成树结果R中。
此时，最小生成树构造完成！它包括的边依次是：<E,F> <C,D> <D,E> <B,F> <E,G> <A,B>。
克鲁斯卡尔算法分析
根据前面介绍的克鲁斯卡尔算法的基本思想和做法，我们能够了解到，克鲁斯卡尔算法重点需要解决的以下两个问题：
① 问题一对图的所有边按照权值大小进行排序。
② 问题二将边添加到最小生成树中时，怎么样判断是否形成了回路。
问题一很好解决，采用排序算法进行排序即可。
问题二，处理方式是：记录顶点在"最小生成树"中的终点，顶点的终点是"在最小生成树中与它连通的最大顶点"。然后每次需要将一条边添加到最小生存树时，判断该边的两个顶点的终点是否重合，重合的话则会构成回路。
如何判断是否构成回路-举例说明(如图)

在将<E,F> <C,D> <D,E>加入到最小生成树R中之后，这几条边的顶点就都有了终点：
(01) C的终点是F。
(02) D的终点是F。
(03) E的终点是F。
(04) F的终点是F。
关于终点的说明：
① 就是将所有顶点按照从小到大的顺序排列好之后；某个顶点的终点就是"与它连通的最大顶点"。
② 因此，接下来，虽然<C,E>是权值最小的边。但是C和E的终点都是F，即它们的终点相同，因此，将<C,E>加入最小生成树的话，会形成回路。这就是判断回路的方式。也就是说，我们加入的边的两个顶点不能都指向同一个终点，否则将构成回路。

克鲁斯卡尔最佳实践-公交站问题

看一个公交站问题：

有北京有新增7个站点(A, B, C, D, E, F, G) ，现在需要修路把7个站点连通
各个站点的距离用边线表示(权) ，比如 A – B 距离 12公里
问：如何修路保证各个站点都能连通，并且总的修建公路总里程最短?

代码实现

package kruskal;import java.util.Arrays;public class KruskalCase {private int edgeNum;    // 边的个数private char[] vertexs; // 顶点数组private int[][] matrix; // 邻接矩阵// 使用INF表示两个顶点不可联通private static final int INF = Integer.MAX_VALUE;// 构造器public KruskalCase(char[] vertexs, int[][] matrix) {// 初始化顶点和边的个数int vlen = vertexs.length;// 初始化顶点this.vertexs = new char[vlen];for (int i = 0; i < vlen; i++) {this.vertexs[i] = vertexs[i];}// 初始化边,实用的是复制拷贝的方式this.matrix = new int[vlen][vlen];for (int i = 0; i < vlen; i++) {for (int j = 0; j < vlen; j++) {this.matrix[i][j] = matrix[i][j];}}// 统计边for (int i = 0; i < vlen; i++) {for (int j = i + 1; j < vlen; j++) {if (this.matrix[i][j] != INF) {edgeNum++;}}}}// 打印邻接矩阵public void print() {System.out.println("邻接矩阵为\n");for (int i = 0; i < vertexs.length; i++) {for (int j = 0; j < vertexs.length; j++) {System.out.printf("%10d\t", matrix[i][j]);}System.out.println();}}// 克鲁斯卡尔算法public void kruskal() {int index = 0;  // 表示最后结果数组的索引int[] ends = new int[edgeNum];  // 用于保存"已有最小生成树"中的每个顶点在最小生成树中的终点// 创建结果数组,保存最后的最小生成树EData[] rets = new EData[edgeNum];// 获取图中所有边的集合,一共有12条边EData[] edges = getEdges();
//        System.out.println("边的集合为：" + Arrays.toString(edges));
//        System.out.println("共有" + edges.length + "条边");// 1. 按照边的权值大小排序（从小到大）sortEdge(edges);// 2. 遍历edges数组,将边添加到最小生成树，同时判断准备加入的边是否生成回路，如果没有，就加入rets，否则不加入for (int i = 0; i < edgeNum; i++) {// 获取到第i条边的第一个顶点（起点）int p1 = getPosition(edges[i].start);// 获取到第i条边的第二个顶点（终点）int p2 = getPosition(edges[i].end);// 获取p1这个顶点在已有最小生成树中的终点int m = getEnd(ends, p1);// 获取p2这个顶点在已有最小生成树中的终点int n = getEnd(ends, p2);// 判断是否构成回路if (m != n) {// 没有构成回路ends[m] = n;    // 设置m在"已有最小生成树"的终点rets[index++] = edges[i]; //  有一条边加入到rets数组}}System.out.println("最小生成树为：");// 统计并打印"最小生成树",输出retsfor (int i = 0; i < index; i++) {System.out.println(rets[i]);}}// 创建一个类EData,它的对象实例就表示一条边static class EData {char start; // 边的起点char end;   // 边的终点int weight; // 边的权值public EData(char start, char end, int weight) {this.start = start;this.end = end;this.weight = weight;}// 重写toString@Overridepublic String toString() {return "[" +"<" + start +"," + end +">=" + weight +']';}}/*** 功能：对边进行排序处理（冒泡）** @param edges 边的集合*/private void sortEdge(EData[] edges) {for (int i = 0; i < edges.length - 1; i++) {for (int j = 0; j < edges.length - 1 - i; j++) {if (edges[j].weight > edges[j + 1].weight) {EData temp = edges[j];edges[j] = edges[j + 1];edges[j + 1] = temp;}}}}/*** 功能：确定某个顶点的下标** @param ch 传入顶点值,比如'A','B'* @return 返回顶点下表，如果找不到返回-1*/private int getPosition(char ch) {for (int i = 0; i < vertexs.length; i++) {if (vertexs[i] == ch) {return i;}}return -1;}/*** 功能：获取图中的边，放到EData[]数组中，后面需要遍历该数组* 通过matrix邻接矩阵获得* EData[]形式：[['A','B',12],['B','F',7],...]** @return 图中的边*/private EData[] getEdges() {int index = 0;EData[] edges = new EData[edgeNum];for (int i = 0; i < vertexs.length; i++) {for (int j = i + 1; j < vertexs.length; j++) {if (matrix[i][j] != INF) {edges[index++] = new EData(vertexs[i], vertexs[j], matrix[i][j]);}}}return edges;}/*** 功能：获取下标为i的顶点的终点()，用于后面判断两个顶点的重点是否相同* 进而判断新加入的顶点是否构成环** @param ends 数组：记录各个顶点对应的终点是哪个，ends数组实在遍历过程中逐步形成的* @param i    传入的顶点对应的下标* @return 返回的就是下标为i的这个顶点对应的终点的下标*/private int getEnd(int[] ends, int i) {while (ends[i] != 0) {i = ends[i];}return i;}public static void main(String[] args) {char[] vertexs = {'A', 'B', 'C', 'D', 'E', 'F', 'G'};int[][] matrix = {/*A*/ /*B*/ /*C*/ /*D*/ /*E*/ /*F*/ /*G*//*A*/{0, 12, INF, INF, INF, 16, 14},/*B*/{12, 0, 10, INF, INF, 7, INF},/*C*/{INF, 10, 0, 3, 5, 6, INF},/*D*/{INF, INF, 3, 0, 4, INF, INF},/*E*/{INF, INF, 5, 4, 0, 2, 8},/*F*/{16, 7, 6, INF, 2, 0, 9},/*G*/{14, INF, INF, INF, 8, 9, 0},};// 创建KruskalCaseKruskalCase kruskalCase = new KruskalCase(vertexs, matrix);// 输出构建
//        kruskalCase.print();//        EData[] edges = kruskalCase.getEdges();
//        System.out.println(Arrays.toString(edges));    // 没有排序
//        kruskalCase.sortEdge(edges);
//        System.out.println(Arrays.toString(edges));    // 排序后kruskalCase.kruskal();}}

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