AOJ0525 Osenbei【DFS+状态组合】

おせんべい
問題
IOI製菓では，創業以来の伝統の製法で煎餅（せんべい）を焼いている．この伝統の製法は，炭火で一定時間表側を焼き，表側が焼けると裏返して，炭火で一定時間裏側を焼くというものである．この伝統を守りつつ，煎餅を機械で焼いている．この機械は縦 R (1 ≤ R ≤ 10) 行, 横 C (1 ≤ C ≤ 10000) 列の長方形状に煎餅を並べて焼く．通常は自動運転で，表側が焼けたら一斉に煎餅を裏返し裏側を焼く．

ある日，煎餅を焼いていると，煎餅を裏返す直前に地震が起こり何枚かの煎餅が裏返ってしまった．幸いなことに炭火の状態は適切なままであったが，これ以上表側を焼くと創業以来の伝統で定められている焼き時間を超えてしまい，煎餅の表側が焼けすぎて商品として出荷できなくなる．そこで，急いで機械をマニュアル操作に変更し，まだ裏返っていない煎餅だけを裏返そうとした．この機械は，横の行を何行か同時に裏返したり縦の列を何列か同時に裏返したりすることはできるが，残念なことに，煎餅を１枚ごと裏返すことはできない．

裏返すのに時間がかかると，地震で裏返らなかった煎餅の表側が焼けすぎて商品として出荷できなくなるので，横の何行かを同時に１回裏返し，引き続き，縦の何列かを同時に１回裏返して，表側を焼きすぎずに両面を焼くことのできる煎餅，つまり，「出荷できる煎餅」の枚数をなるべく多くすることにした．横の行を１行も裏返さない，あるいは，縦の列を１列も裏返さない場合も考えることにする．出荷できる煎餅の枚数の最大値を出力するプログラムを書きなさい．

地震の直後に，煎餅が次の図のような状態になったとする．黒い丸が表側が焼ける状態を，白い丸が裏側が焼ける状態を表している．

1行目を裏返すと次の図のような状態になる．

さらに， 1列目と5列目を裏返すと次の図のような状態になる．この状態では，出荷できる煎餅は9枚である．

ヒント
R の上限 10 は C の上限 10000 に比べて小さいことに注意せよ．

入力
入力は複数のデータセットからなる．各データセットは以下の形式で与えられる．

入力の1行目には2つの整数 R, C (1 ≤ R ≤ 10, 1 ≤ C ≤ 10 000) が空白を区切りとして書かれている．続く R 行は地震直後の煎餅の状態を表す． (i+1) 行目 (1 ≤ i ≤ R) には， C 個の整数 ai,1, ai,2, ……, ai,C が空白を区切りとして書かれており， ai,j は i 行 j 列の煎餅の状態を表している. ai,j が 1 なら表側が焼けることを， 0 なら裏側が焼けることを表す．

C, R がともに 0 のとき入力の終了を示す.　データセットの数は 5 を超えない．

出力
データセットごとに，出荷できる煎餅の最大枚数を1行に出力する．

入出力例
入力例
2 5
0 1 0 1 0
1 0 0 0 1
3 6
1 0 0 0 1 0
1 1 1 0 1 0
1 0 1 1 0 1
0 0
出力例
9
15

上記問題文と自動審判に使われるデータは、情報オリンピック日本委員会が作成し公開している問題文と採点用テストデータです。

问题链接： AOJ0525 Osenbei
问题简述：机器可以放R (1 ≤ R ≤ 10) 行×C (1 ≤ C ≤ 10000)列的煎饼，可以按行翻煎饼（一行全翻），也可以按列翻煎饼（一列全翻）。每个煎饼状态用０和１表示，分别表示正面朝上或背面朝上。问经过若干翻煎饼，最多可以有多少煎饼正面朝上。
问题分析：枚举法是必要的，关键在于怎么枚举。
        题目暗示中有行比列少这句话（ヒント：R の上限 10 は C の上限 10000 に比べて小さいことに注意せよ．），需要加以利用，以减少枚举的数量。
        需要同时考虑按行翻煎饼和按列翻煎饼，那样的话组合就多了。考虑按行翻的情况，行数量比较少，组合就比较少。在计算朝上煎饼数量时，顺便按列翻一下煎饼，求个最大值，这样就不用考虑更多的组合了。
        可以用DFS来实现，需要考虑按行翻和没翻这２种情况。先按行翻DFS算法的复杂度为O(R²C)，而先按列翻的算法复杂度为O(RC²)，显然一般而言O(R²C)≤O(RC²)。
        另外一种考虑，按行翻来翻去，计算量也大。每一行翻一下并且记忆下来，就不需要翻来翻去了。这是一种用空间换时间的做法。然后，考虑一下所有组合就可以了，即做个所有组合的计算，组合的数量为R²，即每行都有翻和不翻２种选择。按列翻的做法跟前一种做法一样。这种算法的复杂度也是O(R²C)，只是算法逻辑更加简洁明了，还省去函数调用。
        一般把后一种做法称为状态压缩，这种说法应该是不准确的，状态组合的说法才是合适的。
程序说明：
        数组a[]中，0到r-1行存储原始的煎饼状态，r到2r-1行存储按行翻过之后煎饼的状态。
        程序上用指针数组p[]作为辅助，便于计算每种状态。二进制计算１<<r相当于计算2^r，是常用编程技巧。表达式k>>i&1用于判定ｋ的从右到左第i位（从0开始）是否为1，用于取是否被翻的行。
参考链接：（略）
题记：（略）

AC的C++语言程序(DFS)如下：

/* AOJ0525 Osenbei */#include <bits/stdc++.h>using namespace std;const int R = 10;
const int C = 10000;
int g[R][C], r, c, ans;void dfs(int row)
{if(row == r) {int sum = 0;        // 1的最多数量for(int i = 0; i < c; i++) {int cnt = 0;for(int j = 0; j < r; j++)if(g[j][i]) cnt++;sum += max(cnt, r - cnt);}ans = max(ans, sum);if(sum == 15) {for(int i = 0; i < r; i++) {for(int j = 0; j < c; j++)printf(" %d", g[i][j]);printf("\n");}for(int i = 0; i < c; i++) {int cnt = 0;for(int j = 0; j < r; j++)if(g[j][i]) cnt++;printf("%d\n", max(cnt, r - cnt));}}} else {dfs(row + 1);for(int i = 0; i < c; i++)g[row][i] = 1 - g[row][i];  // 翻转第row行dfs(row + 1);}
}int main()
{while(~scanf("%d%d", &r, &c) && (r || c)) {for(int i = 0; i < r; i++)for(int j = 0; j < c; j++)scanf("%d", &g[i][j]);ans = 0;dfs(0);printf("%d\n", ans);}return 0;
}

AC的C++语言程序（状态组合）如下：

/* AOJ0525 Osenbei */#include <bits/stdc++.h>using namespace std;const int R = 10;
const int C = 10000;
int a[R * 2][C], *p[R];int main()
{int r, c;while(~scanf("%d%d", &r, &c) && (r || c)) {for(int i = 0; i < r; i++)for(int j = 0; j < c; j++){scanf("%d", &a[i][j]);a[i+r][j] = a[i][j] ^ 1;}int ans = 0;for(int k = 0; k < (1 << r); k++) {for(int i = 0; i < r; i++)p[i] = a[i + (k >> i & 1 ? r : 0)];int sum = 0;for(int j = 0; j < c; j++) {int cnt = 0;for(int i = 0; i < r; i++) {if(p[i][j]) cnt++;}sum += max(cnt, r - cnt);}ans = max(sum, ans);}printf("%d\n", ans);}return 0;
}

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