小白学算法：DFS排列组合问题

准备：

一些用语及事项的说明，方便大家理解。
1.数组从一号索引开始用，不用0号索引。
2.dfs递归零次时称为深度1，递归一次称为深度2，以此类推。
3.每个深度dfs要进行一些操作，统称某深度运算空间中的计算。
4.以图的遍历讲解组合排列的求解

排列

问题：给定一个含有n个元素的数表，从中选定k个数，可以构成多少种排列
输出每种排列和总的排列数，每个数三个场宽。
上代码：

#include <iostream>
#include <cstdio>
using namespace std;
int number[100];  //存储数表
int book[100];  //哨兵 ，初始为0，代表未使用过
int num[100];  //存储找到的排列
int n,k,count;  //n为数表的长度，k为每个排列数包含的元素个数，count为总的排列数void dfs(int step){if( step == k+1){    //step从 1 开始计算，当step == k+1 时，表示找到了一种排列 for(int i = 1;i<=k;i++)printf("%3d",num[i]); //输出排列数 printf("\n");count++;  //排列数个数 +1 return ;}for(int i = 1;i<=n;i++){if(book[i]==0){book[i]=1;   //标记点A, 1 表示该元素已用 num[step]=number[i];//将当前元素放在存储排列数的数组中 dfs(step+1);        //进入下一个深度空间 book[i]=0;   //标记点B,回溯时，将当前点标记为未用 }}return;
}int main()
{scanf("%d %d",&n,&k);for(int i=1;i<=n;i++)  //注意，数组从 1 号索引开始使用 scanf("%d",&number[i]);printf("\n");dfs(1);         //进入dfs,当前：深度为1，递归0次 printf("%3d",count);return 0;
}

组合

数的组合问题：
给定一个含有n个元素的数表，从中选定k个数，可以构成多少个组合
输出每种组合和总的组合数，每个数三个场宽
上代码：

#include <iostream>
#include <cstdio>
using namespace std;
int number[100]; //存放数表
int num[100];  //存放查找到的组合数
int count,n,k;   //count记录总的组合数个数，n为数表长度，k为每个组合数包含元素的个数void dfs(int step,int startx) //step为深度，startx表示当前深度循环开始的索引
{if(step == k+1){  //step从 1 开始计算，当step == k+1 时，表示找到了一种组合for(int i=1;i<=k;i++){cout << "   " << num[i];//输出找到的组合数 }cout << endl;count++;  //组合数个数 +1 return ;}for(int i=startx;i<=n;i++){num[step]=number[i];//将当前元素放在存储组合数的数组中 dfs(step+1,i+1); // i+1 表示下一深度的循环只能遍历当前索引之后的数（此处记为标记点C） }
}int main()
{cin >> n >> k;for(int i=1;i<=n;i++) //注意，数组从 1 号索引开始使用 cin >> number[i];dfs(1,1);  //进入dfs,当前：深度为1，递归0次，循环从第一个元素开始遍历 cout << "   " << count;
}

分析

分析的重点在于，这两个代码不同的原因。通过探究原因，深入理解循环和哨兵的作用。
我们很容易看出来，这两份代码的差异所在：
1.循环的起点不同。
2.一个使用了哨兵，一个没有使用。
下面我们通过图来探究他们不同的原因。
问题引入：我们将排列组合的问题，放在图中思考。如下图；

问题一，分析排列

问题：在图中的3个元素中，任意选取两个元素构成一个排列，总共有多少种选项方案？
解决：
第一步：当我们从 1 开始走的时候，我们可以得到 12 和13两种排列。
第二步：当我从2开始走的时候，依照排列的原则，我可以有21和23两种排列方案。
那么问题来了（记为问题X）：
当我从2开始走的时候，我如何保证在深度为2的运算空间里，我可以遍历除了已经遍历过的元素（这里就是2）之外的所有元素？

循环登场

我设定循环为遍历1~n的元素，那么我就可以在每个深度的运算空间里遍历所有的元素。这里是所有的元素，当然也包括了已经遍历过的元素（这里就是2）。那么如何剔除遍历过的元素呢？

伟大的哨兵登场了

当我们每遍历一个元素，就把这个元素标记为已用，那么在下一个深度空间里，通过哨兵的报告，我们就可以避免再次遍历已经遍历过的元素了。这就是标记点A的作用。至此，问题X不解决了吗？
那么，还有一个问题：标记点B是做什么的？为什么在回溯时要将当前元素又标记为未用呢？
继续探究，我们来举个栗子：

假如没有标记点B：
当我们以1为起点，找到12和13后，回溯到深度为1的运算空间，然后大问题来了，哨兵报告说：“已经没有可用元素了！”。
这明显不对啊，这时候标记点B的作用就体现出来了。
我们来看看有标记点B的情况：
找到12和13后，我们又回溯到了深度为1的运算空间，这时候，由于标记点B的存在，1号和2号元素又被标记为未用哨兵报告你说：“2号元素可用！”，然后我们就可以以2为起点，继续查找新的排列方案。

总结下哨兵、循环在排列问题中的作用

满循环：即指遍历所有元素，保证在每个深度的运算空间空间里可以遍历所有的元素。
哨兵：标记点A，保证在查找单个排列时，不会使用当前排列已经使用过的元素;
标记点B,保证在查找另一个排列方案时，可以使用已经找到的排列时用过的元素。

这里说的有点复杂，我们再举个栗子解释一下：

标记点A：当我从1开始，递归进入深度为2的运算空间时，我不能再使用1号元素。12（或者13）就是当前排列，1号元素就是当前排列已经使用过的元素。
**标记点B：**当我找到12和13的时候（这时候12和13就是已经找到的排列，2就是已经找的排列用过的元素），我仍然可以以2为起点再次查找新的排列方案。

问题二：分析组合

之前我们说了。组合和排列的代码块在循环和哨兵的使用方面存在差异，
对比排列，我们发现组合没有使用哨兵，并且不是满循环。显而易见，组合的代码使用的循环，他的起点就是当前dfs的深度（暂且称这种循环为变起点式循环）。

我们来探究下为什么组合不使用哨兵，且使用的是变起点式循环

又到了举栗子的时间（仍然使用上面那幅图）：

假如我们使用的是哨兵+满循环组合：
当我们从2开始遍历，，那么我们就会得到21和23，（从1遍历时得到了12）那么21和12显然是重复的组合。

那如何避免这种组合重复的问题呢？

我们先来探究为什么会出现21这种重复的组合。显而易见，是因为我们遍历了起点2之前的元素1，如果我们不遍历起点之前的元素，不就不会出现重复组合了吗？如何做到呢？

变起点式循环闪亮登场

通过变起点循环，我们很容易就保证了绝对不会遍历起点之前的元素。

我们再来探究下为什么组合代码不使用哨兵

变起点式循环只遍历数表中起点之后余下的数，所以标记点A和标记点B所解决的问题在这里都不会出现，自然也就不需要哨兵了。（不再赘述）。

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