学点数学(1)-随机变量函数变换

随机变量函数变换

本文介绍一维随机变量函数变换，参考文献：https://wenku.baidu.com/view/619f74ac3186bceb19e8bbd0.html

变换TTT作用于随机变量XXX，产生随机变量YYY.
T:X−>Y或者写为y=T(x)T:X->Y 或者写为 y=T(x)T:X−>Y或者写为y=T(x)

如果X与YX与YX与Y之间的关系是单调的，并且存在逆映射：
T−1:Y−>X或者写为x=T−1(y)T^{-1}:Y->X 或者写为 x=T^{-1}(y)T−1:Y−>X或者写为x=T−1(y)

利用X的概率密度fX(x)f_X(x)fX(x)求Y的概率密度fY(y)f_Y(y)fY(y)
PY(y)=P[Y≤y]=P[T(X)≤y]=P[X≤T−1(y)]=∫−∞T−1(y)fX(x)dxP_Y(y)=P[Y\le y]=P[T(X)\le y]=P[X\le T^{-1}(y)]=\int_{-\infty}^{T^{-1}(y)}f_X(x)dxPY(y)=P[Y≤y]=P[T(X)≤y]=P[X≤T−1(y)]=∫−∞T−1(y)fX(x)dx

上式两边对yyy求导(变上限函数求导+复合函数求导)：
dPY(y)dy=fX(T−1(y))dT−1(y)dy\frac{dP_Y(y)}{dy}=f_X(T^{-1}(y))\frac{dT^{-1}(y)}{dy}dydPY(y)=fX(T−1(y))dydT−1(y)

因为x=T−1(y)x=T^{-1}(y)x=T−1(y)，所以上式可以改写为：
dPY(y)dy=fX(T−1(y))dxdy\frac{dP_Y(y)}{dy}=f_X(T^{-1}(y))\frac{dx}{dy}dydPY(y)=fX(T−1(y))dydx

又因为y=T(x)y=T(x)y=T(x)对xxx求导：dydx=T(x)′\frac{dy}{dx}=T(x)'dxdy=T(x)′，所以反函数的导数：(T−1)′=dxdy=1T(x)′(T^{-1})'=\frac{dx}{dy}=\frac{1}{T(x)'}(T−1)′=dydx=T(x)′1

综上：
fY(y)=dPY(y)dy=fX(T−1(y))1T(x)′f_Y(y)=\frac{dP_Y(y)}{dy}=f_X(T^{-1}(y))\frac{1}{T(x)'}fY(y)=dydPY(y)=fX(T−1(y))T(x)′1

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