圆周率 π 的研究、π 的等式

2024-05-09 04:57:09

π=3.141592653589793238462643383279π=3.141592653589793238462643383279\pi=3.1415926535 89793238462643383279

Math2.org Math Tables: Expansions for PI

1. 圆周率与角度

π⇒180°π⇒180°\pi ⇒ 180°

圆周率与 180° 角的关系出于角的弧度制。

1 弧度的角的定义是弧长等于 1 个半径的圆心角。

不妨设圆的半径是 1，则其周长为 2π2π2\pi，则 1 弧度的角（一个半径的圆心角）：

12π12π

\frac1{2\pi}

转换为角度：

12π⋅360°12π⋅360°

\frac1{2\pi}\cdot 360°

2. π 的等式

π=4−43+45−47+49−411+⋯π=4−43+45−47+49−411+⋯

\pi =4-\frac43+\frac45-\frac47+\frac4{9}-\frac4{11}+\cdots

或者：

π4=1−13+15−17+19−111+⋯π4=1−13+15−17+19−111+⋯

\frac\pi4=1-\frac13+\frac15-\frac17+\frac19-\frac1{11}+\cdots

这即是 Leibniz 级数（遍历所有的奇数，在数轴上，一左一右，震荡衰减），然而收敛很慢；

在实数轴上左右移动的数学意义就是，

往左移动，当前数值减去某个数；
向右移动，当前数值加上某个数值；

Basel problem：

∑0∞1n2=1+14+19+125+⋯=π26∑0∞1n2=1+14+19+125+⋯=π26

\sum_0^{\infty}\frac1{n^2}=1+\frac14+\frac19+\frac1{25}+\cdots=\frac{\pi^2}{6}

21⋅23⋅43⋅45⋅65⋅67⋯=π221⋅23⋅43⋅45⋅65⋅67⋯=π2

\frac{2}{1}\cdot\frac{2}{3}\cdot\frac{4}{3}\cdot\frac{4}{5}\cdot\frac{6}{5}\cdot\frac{6}{7}\cdots=\frac{\pi}{2}

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