题目

传送门 to LOJ

传送门 to luogu

题目概要
对于字符串 SSS 的每个前缀，求出循环移位后可以得到的最小字典序，输出向左的循环移位长度。如果有多个，输出最小的向左循环移位长度。

数据范围与提示
∣S∣≤3×106|S|\le 3\times 10^6∣S∣≤3×106 。

思路

字典序的变化其实并不复杂。就像区间字典序最大子串一样，从前缀 iii 变为前缀 (i+1)(i{+}1)(i+1) 时，方案的变动很小。

沿用那道题的方法，枚举右端点 rrr 的同时，想办法维护 可能有用的答案集合。考虑两个分界点 i,j(i<j)i,j\;(i<j)i,j(i<j) 是否有可能 “胜负已定” 。容易发现，当 lcp(S[i::],S[j::])≤r−jlcp(S[i::],S[j::])\le r-jlcp(S[i::],S[j::])≤r−j 时，无论 rrr 再怎么增大，二者的大小关系都确定了。所以
lcp(S[i::],S[j::])>r−j(i<j)lcp(S[i::],S[j::])>r-j\quad(i<j) lcp(S[i::],S[j::])>r−j(i<j)

继续照搬那道题，考虑 lcplcplcp 的传递性。若还有分界点 k(k>j)k\;(k>j)k(k>j) 满足 lcp(S[i::],S[k::])>r−klcp(S[i::],S[k::])>r-klcp(S[i::],S[k::])>r−k 的话，肯定也满足 lcp(S[j::],S[k::])>r−klcp(S[j::],S[k::])>r-klcp(S[j::],S[k::])>r−k 了。所以，只需要和首个分界点进行比对。

可是糟糕的是，我们没法维护单调栈了。虽说我们也并不需要维护单调栈，因为本题是查询完整的前缀。不管怎么说，我们要想办法找到 稳定的大小关系。接下来这一步，是如何想到的，我也不知道了。我只能说明它是正确的。

当 j−i<r−jj-i<r-jj−i<r−j 时，不难发现 j−ij-ij−i 是 S[i::]S[i::]S[i::] 的一个周期。那么，可以考虑研究一下从 iii 开始、从 jjj 开始、从 j+(j−i)j+(j-i)j+(j−i) 开始，这三种情况。记这个周期为 A=S[i:j−1]A=S[i:j-1]A=S[i:j−1] ，非周期部分 B=S[2j−i:r]+S[1:i−1]B=S[2j-i:r]+S[1:i-1]B=S[2j−i:r]+S[1:i−1] ，三种情况分别对应
i:A+A+Bj:A+B+A2j−i:B+A+A\begin{aligned} i&:A+A+B\\ j&:A+B+A\\ 2j-i&:B+A+A \end{aligned} ij2j−i:A+A+B:A+B+A:B+A+A

其实你一看就知道 jjj 肯定没用，把 BBB 放中间，人不人鬼不鬼的。不过还是给一个严谨证明。设 AAB>ABAAAB>ABAAAB>ABA（必须严格大于，等于的时候答案为 iii），必然是 AB>BAAB>BAAB>BA ，后面同时接一个 AAA 得到 ABA>BAAABA>BAAABA>BAA 所以 2j−i2j-i2j−i 更优。

有了这个结论，我们就可以说明 r−i⩾2(r−j)r-i\geqslant 2(r-j)r−i⩾2(r−j) 进而说明 一共只有 log⁡r\log rlogr 个有用的点，暴力检查就可以得到答案。咋检查啊？因为 lcplcplcp 已经匹配到了底，所以就是求一个 lcp(S[x::],S[1::])lcp(S[x::],S[1::])lcp(S[x::],S[1::]) ，做一个扩展 KMP\tt KMPKMP 就行。（如果 xxx 又到了底呢？那 xxx 就变成了 S[1::]S[1::]S[1::] 啊！）

复杂度 O(nlog⁡n)\mathcal O(n\log n)O(nlogn) 完成了所有事情。

2022/8/19update\texttt{2022/8/19 update}2022/8/19 update：看到个线性做法，只 mark\rm markmark 下，不深究。

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