开头

重点
本文对于牛顿法求零点和求极值点进行简单的公式推导，并使用matlab实现算法，同时做两道简单习题。

又是艰难的一天呢。
今天用matlab写牛顿法，竟然又搞了好几个小时，我真的是有点绝望。唉，我太难了，好在最后解决了我脑袋中的bug.我竟然是个学数学的垃圾。。。

好像有点无厘头。。。
改一下子，好像应该写个摘要。

正文

原理

对于给定的函数 f ( x ) f(x) f(x),我们将其在 x 0 x_0 x0泰勒展开(严谨的人应该注意 f ( x ) f(x) f(x)需满足泰勒展开的条件),有如下结果:
f ( x ) = f ( x 0 ) + f ′ ( x 0 ) 1 ! ( x − x 0 ) + . . . + f ( n ) ( x 0 ) n ! ( x − x 0 ) n + o ( x n ) f(x)=f(x_0)+\frac{f'(x_0)}{1!}(x-x_0)+...+\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n+o(x^n) f(x)=f(x0)+1!f′(x0)(x−x0)+...+n!f(n)(x0)(x−x0)n+o(xn)
令 f ( x ) = 0 f(x)=0 f(x)=0，则有：
f ( x 0 ) + f ′ ( x 0 ) ( x − x 0 ) = 0 f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)=0 f(x0)+f′(x0)(x−x0)=0
x = x 0 − f ( x 0 ) f ′ ( x 0 ) x=x_0-\frac{f(x_0)}{f'(x_0)} x=x0−f′(x0)f(x0)
故在求函数零点时，有如下迭代公式:
x i + 1 = x i − f ( x i ) f ′ ( x i ) x_{i+1}=x_i-\frac{f(x_i)}{f'(x_i)} xi+1=xi−f′(xi)f(xi)

当我们要求函数的极值点时，我们令 f ′ ( x ) = 0 f'(x)=0 f′(x)=0，对于泰勒展开式有如下结果：
0 = f ′ ( x 0 ) + f ′ ′ ( x 0 ) ( x − x 0 ) 0=f'(x_0)+f''(x_0)(x-x_0) 0=f′(x0)+f′′(x0)(x−x0)
x = x 0 − f ′ ( x 0 ) f ′ ′ ( x 0 ) x=x_0-\frac{f'(x_0)}{f''(x_0)} x=x0−f′′(x0)f′(x0)
故求函数的极值点时，我们有下面的迭代公式：
x i + 1 = x i − f ′ ( x i ) f ′ ′ ( x i ) x_{i+1}=x_i-\frac{f'(x_i)}{f''(x_i)} xi+1=xi−f′′(xi)f′(xi)
原理说完了，现在我们就开始进行最为有趣的实践环节喽。不能总是纸上谈兵嘛，数学总要用起来才能真正体现出他的价值。

应用

题目1.求出函数 y = ( x − 3 ) 3 y=(x-3)^3 y=(x−3)3与 x x x轴的交点，并在图像上标注出来。

题目貌似有点简单，但是我们最重要的是对方法的掌握。
代码如下：
首先是牛顿法求零点（与 x x x轴交点）的函数。

function res=findzeroNt(f,var,x0,e,max)
df=diff(f);
for i=1:maxx1=x0-subs(f,var,x0)/subs(df,var,x0);if abs(x1-x0)<ebreakendx0=x1;
end
res=double(x0);

然后是我们的主函数。

%
clc,clear
syms x;%定义符号
f=(x-3)^3;%符号函数的定义
ezplot(f);%画出符号函数的图像
hold on
x0=4;%起始点
e=0.1;%误差范围
res=findzeroNt(f,x,x0,e,100)%求解
plot(res,subs(f,x,res),'r*')%标注求得的点
%axis equal
axis([-5,5,-10,10])%设置横纵坐标范围

最后画出图像如下：
----
题目2.求出函数 y = e − x + x 2 y=e^{-x}+x^2 y=e−x+x2的极小值点。
求极值点的matlab代码如下：

function [min]=Newton(x0,f,sigma,var)
%x0表示起始点
%f为函数
%sigma表示误差范围
%var表示函数变量名
wucha=1;
n=0;
diff(f)
while wucha>sigmaif subs(diff(f),var,x0)==0breakendif n>20breakendx1=x0-subs(diff(f),var,x0)/subs(diff(f,2),var,x0);x1=double(x1);wucha=abs(x1-x0);x0=x1;n=n+1;
end
min=x0;

然后是主函数代码：

clc,clear
syms x
f=exp(-x)+x^2;%函数表达式ezplot(f)
hold on
res=Newton(0,f,0.001,x)
plot(res,subs(f,x,res),'r*')

图像如下：

反思

牛顿迭代法虽然可以解决一些问题，但是对于有些函数效果不太理想，还有待进一步改进。待我好好研究。。。

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