数学定义随机变量、概率密度函数、分布函数
很多资料都没有给出数学属性,而是使用例子,使用数字来代替“随机变量”这样一个函数,特整理于此。
随机变量
随机变量的要求是满足
- 是一个实值函数
- 是一个可测函数
教材中一般用大写字母表示。
可测定义:
对任意实数x,{w:X(w)<=X}∈F 【F为事件集合】
提出随机变量的目的: - 当原空间的元素过于复杂或者表达起来不如实数值方便,所以我们就把原空间的概率空间三元素(S,B,P)映射到关于实数的空间上(Ω,BΩB_{Ω}BΩ)
- 但是, 这个实数空间是没有定义概率的,我们想要知道这个空间中一个事件的概率,比如P(X≤x)。
- 因为随机变量空间没有定义概率,就需要将{X≤x}这个事件通过随机变量映射回原概率空间去求,问题中描述的事件{ω:X(ω)<=x},就是逆回去的结果。
- 综上,随机变量的提出是提出一种到实数空间的映射
X:w→RX: w →\mathbb{R} X:w→R
概率密度
下面给出连续型随机变量和其概率密度函数的定义:设X为随机变量,x为随机变量的取值,对任意a,b有非负可积函数f(x)满足如图关系,
则称X为连续型随机变量,f(x)为随机变量X的概率密度函数,并称随机变量X服从f(x)。
记作X~f(x)。
分布函数
变量小于等于某个特定值a的概率(也是积分的结果)
F(a) =∫−∞axp(x)dx=P(X⩽a)\text { F(a) }=\int_{-\infty}^{a} x p(x)dx \\=\mathbb{P}(X\leqslant a) F(a) =∫−∞axp(x)dx=P(X⩽a)
其中小p是pdf: probability density function概率密度函数
从数学上看,分布函数F(x)=P(X<x),表示随机变量X的值小于x的概率。这个意义很容易理解。概率密度f(x)是F(x)在x处的关于x的一阶导数,即变化率。如果在某一x附近取非常小的一个邻域Δx,那么,随机变量X落在(x, x+Δx)内的概率约为f(x)Δx,即P(x<X<x+Δx)≈f(x)Δx。换句话说,概率密度f(x)是X落在x处“单位宽度”内的概率。“密度”一词可以由此理解。
参考:https://www.zhihu.com/question/21911186/answer/256038396
期望
同样应该理解为积分的结果:
E[X]=∫xdP(x)=∫xp(x)dx\begin{aligned} &\mathbb{E}[X]=\int x d \mathbb{P}(x)=\int x p(x) d x \end{aligned}E[X]=∫xdP(x)=∫xp(x)dx
参考:https://www.zhihu.com/question/43721834/answer/518143024
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