考研数学易错知识点总结

1.极限部分

判断正确与否：若{an}\left\{a_{n}\right\}{an}收敛，则有lim⁡n→∞(an+1−an)=0\lim \limits_{n \rightarrow \infty}\left(a_{n+1}-a_{n}\right)=0n→∞lim(an+1−an)=0和lim⁡n→∞an+1an=1\lim \limits_{n \rightarrow \infty} \frac{a_{n+1}}{a_{n}}=1n→∞limanan+1=1。

第一项正确，第二项不正确，例如ana_nan=0
问：收敛数列是否一定是单调数列？无穷小量是否一定是单调数列？

不一定，反例都可以举an=(−12)na_n=(-\frac{1}{2})^nan=(−21)n
问：正无穷大数列是否一定单调增加？无界数列是否一定是无穷大量？

都不一定，前者反例1,12,2,2,⋯,n,n2,⋯1,1^2,2,2^,\cdots,n,n^2,\cdots1,12,2,2,⋯,n,n2,⋯, 后者反例1,2,1,3,⋯,1,n,⋯1,2,1,3,\cdots,1,n,\cdots1,2,1,3,⋯,1,n,⋯
问：如果数列{an}\left\{a_{n}\right\}{an}收敛于aaa,那么绝对值∣an−a∣\left|a_{n}-a\right|∣an−a∣是否随着nnn的增加而单调减少趋于0?

不一定，例如数列an=(−1)n+nn−2a_n=\frac{(-1)^n+n}{n-2}an=n−2(−1)n+n,数列ana_nan收敛于1,但是∣an−1∣=(−1)n+2n−2|a_n-1|=\frac{(-1)^n+2}{n-2}∣an−1∣=n−2(−1)n+2，此数列并不是单调的。
若{an}\left\{a_{n}\right\}{an}与{bn}\left\{b_{n}\right\}{bn}均发散，但是{an+bn}\left\{a_{\mathrm{n}}+b_{\mathrm{n}}\right\}{an+bn}不一定发散。
例如：{an}={(−1)n}\left\{a_{\mathrm{n}}\right\}=\left\{(-1)^{\mathrm{n}}\right\}{an}={(−1)n},{bn}={(−1)n+1}\left\{b_{\mathrm{n}}\right\}=\left\{(-1)^{\mathrm{n+1}}\right\}{bn}={(−1)n+1}或者an=n,bn=−na_n=n,b_n=-nan=n,bn=−n
若{an}\left\{a_{n}\right\}{an}与{bn}\left\{b_{n}\right\}{bn}均发散，但是{anbn}\left\{a_{\mathrm{n}}b_{\mathrm{n}}\right\}{anbn}不一定发散。
例如：{an}=\left\{a_{n}\right\}={an}={1+(−1)n2}\left\{\frac{1+(-1)^{n}}{2}\right\}{21+(−1)n} , {bn}=\left\{b_{n}\right\}={bn}={1−(−1)n2}\left\{\frac{1-(-1)^{n}}{2}\right\}{21−(−1)n}
若{an}\left\{a_{n}\right\}{an}与{bn}\left\{b_{n}\right\}{bn}有一个收敛，另一个发散，则{anbn}\left\{a_{\mathrm{n}}b_{\mathrm{n}}\right\}{anbn}的敛散性不定。
若an>bn(n=1,2,⋯)a_{n}>b_{n}(n=1,2, \cdots)an>bn(n=1,2,⋯)，但不一定有lim⁡x→∞a0>lim⁡x→∞b0\lim \limits_{x \rightarrow \infty} a_{0}>\lim \limits_{x \rightarrow \infty} b_{0}x→∞lima0>x→∞limb0（假设极限都存在）
例如：an=2n,bn=1n(n=1,2,⋯)a_{n}=\frac{2}{n},b_{n}=\frac{1}{n}(n=1,2, \cdots)an=n2,bn=n1(n=1,2,⋯) ，但是lim⁡n→∞an=lim⁡n→∞bn=0\lim \limits_{n \rightarrow \infty}a_{n}=\lim \limits_{n \rightarrow \infty} b_{n}=0n→∞liman=n→∞limbn=0
设an⩽bn⩽cn,n∈N+a_{n} \leqslant b_{n} \leqslant c_{n}, n \in \mathbf{N}_{+}an⩽bn⩽cn,n∈N+，已知lim⁡n→∞(cn−an)=0\lim \limits_{n \rightarrow \infty}\left(c_{n}-a_{n}\right)=0n→∞lim(cn−an)=0，问数列{bn}\left\{b_{n}\right\}{bn}是否收敛？
不一定,取an=bn=cn=na_n=b_n=c_n=nan=bn=cn=n,可知实际上bnb_nbn是发散的。
设已知lim⁡n→∞an=0\lim \limits_{n \rightarrow \infty} a_{n}=0n→∞liman=0，问是否有lim⁡n→∞(a1a2⋯an)=0?\lim \limits_{n \rightarrow \infty}\left(a_{1} a_{2} \cdots a_{n}\right)=0 ?n→∞lim(a1a2⋯an)=0?，反之如何？
∣a1a2a3⋯∣=∣a1⋯aN∣∣aN+1⋯an∣<∣a1a2⋯an∣εn−N|a_1 a_2 a_3 \cdots|=|a_1 \cdots a_N||a_N+1 \cdots a_n|<|a_1 a_2 \cdots a_n|{\varepsilon}^{n-N}∣a1a2a3⋯∣=∣a1⋯aN∣∣aN+1⋯an∣<∣a1a2⋯an∣εn−N即证

但是反之，取an=1,12,1,13,⋯,1,1n,⋯a_n=1,\frac{1}{2},1,\frac{1}{3},\cdots,1,\frac{1}{n},\cdotsan=1,21,1,31,⋯,1,n1,⋯
若yn⩽xn⩽zny_{n} \leqslant x_{n} \leqslant z_{n}yn⩽xn⩽zn，同时lim⁡(zn−yn)=0\lim \left(z_{n}-y_{n}\right)=0lim(zn−yn)=0，则不一定能推出lim⁡n→∞xn\lim\limits_{n \rightarrow \infty} x_{n}n→∞limxn存在，这是因为lim⁡n→∞(zn−yn)=0\lim\limits_{n \rightarrow \infty}\left(z_{n}-y_{n}\right)=0n→∞lim(zn−yn)=0不能推出lim⁡n→∞yn\lim\limits_{n \rightarrow \infty} y_{n}n→∞limyn和lim⁡n→∞zn\lim\limits_{n \rightarrow \infty} z_{n}n→∞limzn存在，例如xn=n,yn=n−1n,zn=n+1nx_{n}=n, y_{n}=n-\frac{1}{n}, z_{n}=n+\frac{1}{n}xn=n,yn=n−n1,zn=n+n1
若yn⩽a⩽xny_{n} \leqslant a \leqslant x_{n}yn⩽a⩽xn同时lim⁡n→∞(zn−yn)=0\lim\limits_{n \rightarrow \infty}\left(z_n-y_{n}\right)=0n→∞lim(zn−yn)=0,则有lim⁡yn=lim⁡xn=a\lim y_{n}=\lim x_{n}=alimyn=limxn=a，这是因为由于yn⩽a⩽xny_{n} \leqslant a \leqslant x_{n}yn⩽a⩽xn，则有0≤a−yn⩽zn−yn0 \leq a-y_{n} \leqslant z_{n}-y_{n}0≤a−yn⩽zn−yn，由于lim⁡n→∞(zn−yn)=0\lim\limits_{n \rightarrow \infty}\left(z_n-y_{n}\right)=0n→∞lim(zn−yn)=0，根据夹逼准则，于是有lim⁡m→∞(a−yn)=0\lim\limits_{m \rightarrow \infty}\left(a-y_{n}\right)=0m→∞lim(a−yn)=0，即lim⁡yn=a\lim y_{n}=alimyn=a，同理有yn−zn⩽a−zn⩽0y_{n}-z_{n} \leqslant a-z_{n} \leqslant 0yn−zn⩽a−zn⩽0，也即lim⁡n→∞zn=a\lim\limits_{n \rightarrow \infty} z_{n}=an→∞limzn=a
并不是任意两个无穷小都可以进行比较阶的，例如当x→0x \rightarrow 0x→0时，xsin⁡1xx\sin{}\frac{1}{x}xsinx1与x2x^2x2都是无穷小，但是却不可以进行比阶，因为lim⁡x→0xsin⁡1xx2=lim⁡x→01xsin⁡1x\lim\limits_{x \rightarrow 0} \frac{x \sin \frac{1}{x}}{x^{2}}=\lim\limits_{x \rightarrow 0} \frac{1}{x} \sin \frac{1}{x}x→0limx2xsinx1=x→0limx1sinx1不存在。
当x→0x \rightarrow 0x→0时，f(x)f(x)f(x)为无穷小，也不一定有sin⁡[f(x)]∼f(x)\sin [f(x)] \sim f(x)sin[f(x)]∼f(x)，例如对于sin⁡(xsin⁡1x)\sin \left(x \sin \frac{1}{x}\right)sin(xsinx1) 与xsin⁡1xx \sin \frac{1}{x}xsinx1，在x=0x=0x=0的任一小的去心邻域内，总有x=1kπ→0x=\frac{1}{k \pi} \rightarrow 0x=kπ1→0,使得sin⁡(xsin⁡1x)xsin⁡1x\frac{\sin \left(x \sin \frac{1}{x}\right)}{x \sin \frac{1}{x}}xsinx1sin(xsinx1)在该点没有定义，导致上述极限不存在。
有限多个无穷小的乘积为无穷小，对于函数

fn(x)={1,x<nn[x]−n+1,x⩾nn=1,2,3,⋯f_{n}(x)=\left\{\begin{array}{ll} {1,} & {x<n} \\ {\frac{n}{[x]-n+1},} & {x \geqslant n} \end{array} \quad n=1,2,3, \cdots\right. fn(x)={1,[x]−n+1n,x<nx⩾nn=1,2,3,⋯

我们有
F(x)=lim⁡n→∞∏i=1nfi(x)=∏i=1n=1fi(x)lim⁡n→∞∏i=1nfi(x)=1[x]∏i=2(x)fi(x)=1[x]⋅2[x]−1⋅3[x]−2⋅⋯⋅[x]−23⋅[x]−12⋅[x]=1≠0\begin{aligned} F(x) &=\lim _{n \rightarrow \infty} \prod_{i=1}^{n} f_{i}(x)=\prod_{i=1}^{n=1} f_{i}(x) \lim _{n \rightarrow \infty} \prod_{i=1}^{n} f_{i}(x)=\frac{1}{[x]} \prod_{i=2}^{(x)} f_{i}(x) \\ &=\frac{1}{[x]} \cdot \frac{2}{[x]-1} \cdot \frac{3}{[x]-2} \cdot \cdots \cdot \frac{[x]-2}{3} \cdot \frac{[x]-1}{2} \cdot[x]=1 \neq 0 \end{aligned} F(x)=n→∞limi=1∏nfi(x)=i=1∏n=1fi(x)n→∞limi=1∏nfi(x)=[x]1i=2∏(x)fi(x)=[x]1⋅[x]−12⋅[x]−23⋅⋯⋅3[x]−2⋅2[x]−1⋅[x]=1=0