算法大作业圆排列问题

问题

圆排列问题：给定n个圆的半径序列，将它们放到矩形框中，各圆与矩形底边相切，求具有最小排列长度的圆排列。

解析

圆排列问题的解空间是一棵排列树。按照回溯法搜索排列树的算法框架，设开始时a=[r1,r2,……rn]是所给的n个圆的半径，则相应的排列树由a[1:n]的所有排列构成。
1、compute函数可以想象其中任意的一个圆无限大或无限小，无限大的话那其余的圆就可以统统忽略了。因为已知所有圆的x坐标和半径r,很容易求出每个圆的左右坐标，通过比较找出最小的左部坐标和最大的右部坐标，一减就是该圆排列的长度，然后把每次不同的排列长度相比较，找到更小的minlen就更新。

2、 center函数计算圆在当前圆排列中的横坐标，由x^2 = sqrt((r1+r2)^2-(r1-r2)2)推导出x = 2sqrt(r1r2)。注意排在任意位置的圆与其前或后的任意一个圆都有可能相切的，如图所示。

3、back函数，这里用到的核心方法就是回溯法，回溯最重要的就是求出界限函数.按问题性质,可画出子集树或排列树。if(cx+r[t]+r[1]<minlen)的作用是剪枝，先判断当前层是否在范围内，是则继续搜索下一层，否则直接回溯。下图是不进行剪枝时，六种可能性都搜索一遍的过程。

设计

#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<cstdlib>
#include<cmath>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int inf = 0x3f3f3f3f;
double minlen, x[1010], r[1010];
int n;
double best[1010];
void compute() {double low = 0, high = 0;for (int i = 1; i <= n; i++) {if (x[i] - r[i] < low)      low = x[i] - r[i];if (x[i] + r[i] > high)     high = x[i] + r[i];}if (high - low < minlen) {minlen = high - low;for (int i = 1; i <= n; i++) {best[i] = r[i];}}
}double center(int t) {double tem = 0;for (int i = 1; i < t; i++) {tem = max(x[i] + 2.0 * sqrt(r[i] * r[t]),tem);}return tem;
}void back(int t) {if (t > n)  compute();else {for (int i = t; i <= n; i++) {swap(r[t], r[i]);double cx = center(t);if (cx + r[1] + r[t] < minlen) {x[t] = cx;back(t + 1);}swap(r[t], r[i]);}}
}int main() {scanf("%d", &n);for (int i = 1; i <= n; i++)    scanf("%lf", &r[i]);minlen = inf;back(1);printf("最小排列长度：%f\n", minlen);for (int i = 1; i <= n; i++) {printf("%f", best[i]);if (i != n)    printf("\n");}
}

分析

代码的核心复杂度在back函数递归过程中，最坏情况下啊复杂度为O(n!)，而每次递归的复杂度为O(n)，所以总结得出复杂度为：

源码

github源码地址

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