算法分析与设计

圆排列问题

问题描述：

给定n个圆的半径序列，将它们放到矩形框中，各圆与矩形底边相切，求具有最小排列长度的圆排列。

算法

假设三个圆的半径分别为1,1,2。那么这种情况的圆排列长度为2+4sqrt(2)。计算r1=1,r2=2情况下的两圆心的距离为len²=(r1+r2)²-(r2-r1)^2。推广到所有情况就可以得到len=2sqrt(r1*r2)。

这是n=3时，圆A,圆B，圆C的排列数的情况。ABC,ACB,BCA,BAC,CAB,CBA。圆排列问题的解空间是一颗排列树。按照回溯法搜索排列树的算法框架，设开始时r=[r1,r2,…,rn]是所给的n个圆的半径，则相应的排列树由r[1:n]的所有排列构成。
compute函数：可以想象其中任意的一个圆无限大或无限小，无限大的话那其余的圆就可以统统忽略了。已知所有圆的x[]和r[],求出每个圆的左右坐标，通过比较找出最小的左部坐标和最大的右部坐标，想减就是该圆排列的长度，每次更新出最小的minn。

核心代码：

double Getc(int t) {         //计算第t个圆的圆心坐标double temp = 0;for (int j = 1; j < t; ++j) {double val = x[j] + 2.0 * sqrt(r[t] * r[j]);  //判断与他之前的所有圆相切的情况temp=max(temp,val);}return temp;
}
void compute() {double L = inf, R = 0;   //L是左边界，R是有边界for (int i = 1; i <= n; ++i) {if (x[i] - r[i] < L)L = x[i] - r[i];if (x[i] + r[i] > R)R = x[i] + r[i];}if (R - L < minn) {minn = R - L;for (int i = 1; i <= n; ++i)arr[i] = r[i];}
}
void dfs(int t) {if (t == n + 1) {compute();}else {for (int j = t; j <= n; ++j) {swap(r[t], r[j]);double val = Getc(t);if (val + r[t] + r[1] < minn) {x[t] = val;dfs(t + 1);}swap(r[t], r[j]);     //还原}}
}

时间复杂度：

算法遍历解空间，时间复杂度为O(n!)。
每次计算圆排列长度，此时的时间复杂度为O(n)。
综上，该算法的时间复杂度为O(n!*n)。

源码：

https://github.com/SpiritDemon-max/myText/blob/master/circle.cpp

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