最短路径 的一些解法和特殊情况
最短路径
1.Dijkstra算法
主要解决单源最短路径问题：
void Dijkstra(int s){for(int i = 0;i < maxn;i++)dis[i] = INF;dis[s] = 0;for(int i = 0;i < n;i++){int u = -1,min = INF;for(int j = 0;j < n;j++){if(!visit[j] && dis[j] < INF){u = j;min = dis[j];}}if(u == -1) return;visit[u] = true;for(int j = 0;j < n;j++){if(!visit[j] && G[u][j] != INF){if(dis[j] > dis[u] + G[u][j]){dis[j] = dis[u] + G[u][j];}}}}}当有两种或以上的最短路径时，一般情况下题目就会给出一个第二标尺，常见如下：
- 新增边权，以新增的边权代表花费为例，用cost[u][v]表示 U -> V 的花费，并新增一个数组c[]，令从起点s到达u的最小花费为c[u]，初始化时只有c[s]为0、其余均为INF。
当有两种或以上的最短路径时，一般情况下题目就会给出一个第二标尺，常见如下：
- 新增边权，以新增的边权代表花费为例，用cost[u][v]表示 U -> V 的花费，并新增一个数组c[]，令从起点s到达u的最小花费为c[u]，初始化时只有c[s]为0、其余均为INF。
for(int v = 0;v < n;v++){if(visit[v] == false && G[u][v] != INF){if(d[u] + G[u][v] < d[u]){d[v] = d[u] + G[u][v];cost[v] = c[u] + cost[u][v];}else if(d[u] + G[u][v] == d[u] && c[u] + cost[u][v] < c[v]){c[v] = c[u] + cost[u][v];}}}- 新增点权，以新增的点权代表城市中能收集到的物资为例，用weight[u]表示城市 u 中的物资数目，并新增一个数组w[]，令从起点s到达u的能收集的最大物资为w[u]，初始化时只有w[s] = weight[s]，其余均为0 。
for(int v = 0;v < n;v++){if(visit[v] == false && G[u][v] != INF){if(d[u] + G[u][v] < d[u]){d[v] = d[u] + G[u][v];w[v] = w[u] + weight[v];}else if(d[u] + G[u][v] == d[u] && c[u] + cost[u][v] < c[v]){w[v] = w[u] + weight[v];}}}- 求最短路径条数，只需要增加一个数组num[]，令起点s到达顶点u的最短路径条数为num[u]，这样初始化时只有num[s] = 1、其余 num[s] 均为0 。
for(int j = 0;j < n;j++){if(visit[j] == false && G[u][j] != INF){if(dis[j] > dis[u] + G[u][j]){ //如果能找到更短的路径就更新 dis 数组dis[j] = dis[u] + G[u][j]; num[j] = num[u];}else if(dis[j] == dis[u] + G[u][j]){ //找到一条长度相等的路径num[j] += num[u]; }}}2.Bellman-Ford算法
Dijkstra 算法可以很好的解决无负权图的最短路径问题，但如果出现了负边权，Dijkstra就会失效，为了更好地求解有负权的最短路径问题，需要使用Bellman-Ford算法，Bellman-Ford算法可以解决单源最短路径问题，但也能处理有负权边的情况。
#include <iostream>#include <vector>using namespace std;const int maxn = 500 + 5;const int INF = 1000000000;int dis[maxn];struct node{int v,d;//邻结点和邻接边的边权node(int v1,int d1):v(v1),d(d1) {}};int n,m;vector <node> Adj[maxn];bool Ford(int s){for(int i = 0;i < maxn;i++)dis[i] = INF;dis[s] = 0;for(int i = 0;i < n-1;i++){for(int u = 0;u < n;u++)for(int j = 0;j < Adj[u].size();j++){int v = Adj[u][j].v;//邻接边的顶点int d = Adj[u][j].d;//邻接边的边权if(dis[u] + d < dis[v]){dis[v] = dis[u] + d;}}}//以下为判断负环的代码for(int u = 0;u < n;u++)for(int j = 0;j < Adj[u].size();j++){int v = Adj[u][j].v;int d = Adj[u][j].d;if(dis[u] + d < dis[v]){//如果仍可以被松弛return false; //说明图中有从源点可达的负环}}return true;}int main(void){int v1,v2,s,d;cin>>n>>m>>s;cin>>v1>>v2>>d; //负权值是单向的Adj[v1].push_back(node(v2,d));for(int i = 0;i < m-1;i++){cin>>v1>>v2>>d;Adj[v1].push_back(node(v2,d));Adj[v2].push_back(node(v1,d));}if(Ford(s)){cout<<"该图中没有负环。"<<endl;}else{cout<<"该图中存在负环。"<<endl;}for(int i = 0;i < n;i++)cout<<dis[i]<<" ";cout<<endl;return 0;}/*3 3 00 1 -30 2 11 2 53 3 00 1 -30 2 11 2 23 3 00 1 -30 2 11 2 1*/
3.SPFA算法
SPFA算法是Bellman-Ford算法优化的结果
vector <node> Adj[maxn];bool SPFA(int s){for(int i = 0;i < maxn;i++)dis[i] = INF;dis[s] = 0;memset(num,0,sizeof(num);queue <int> q;q.push(s);visit[s] = true;num[s]++;while(!q.empty()){int u = q.front();q.pop();visit[u] = false; //不在队列中for(int i = 0;i < Adj[u].size();i++){int v = Adj[u][i].v;//邻接边的顶点int d = Adj[u][i].d;//邻接边的边权//松弛操作if(dis[v] > dis[u] + d){dis[v] = dis[u] + d;if(!visit[v]){q.push(v);num[v]++;//当前结点入队次数加一visit[v] = true;if(num[v] >= n) return false; //有可达的负环}}}}return true;}4.Floyd算法
Floyd 算法用来解决全源最短路径问题，即对给定的图G(V,E)，求任意两点u,v之间的最短路径长度。
void Floyd(){for(int k = 0;k < n;k++) //辅助顶点 k (一定要放在最外层)for(int i = 0;i < n;i++)for(int j = 0;j < n;j++){if(dis[i][k] != INF && dis[k][j] != INF){if(dis[i][j] > dis[i][k] + dis[k][j]){dis[i][j] = dis[i][k] + dis[k][j];}}}}最短路径 的一些解法和特殊情况相关推荐
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