离散数学及其应用

  • 第7章
    • 7.1
    • 7.2
      • 7.2.9 蒙特卡洛算法
  • 第9章
    • 9.1
    • 9.4
      • 9.4.5 沃舍尔算法
      • 9.6.4 极大元与极小元

参考书目是离散数学及其应用（第七版），很傻瓜的题目也会错……只是做个记录。

第7章

7.1

7.掷6次硬币，全部头像朝上的概率是多少？
掷6次所有情况是26，全部头像朝上只有1种可能性，所以答案是1/26.

12.一手扑克牌有5张，其中恰好包含1张A的概率是多少？
先从52张扑克牌中抽5张，所以有C525种可能性，恰好包含一张A，说明其他四张牌是从剩下的48张牌中抽取的，所以是C484，没有考虑到A的花色有4种，所以答案是4×C484/C525。

15.一手扑克牌有5张，其中包含2个对子的概率是多少？
先从52张扑克牌中抽5张，所以有C525种可能性，从13个数字中抽2个表示有两个对子，所以有C132，每个对子的花色再从4个中抽2个，所以有（C42）2，剩下的一张从44张牌中取，要减去对子数字牌的其他两个花色，所以答案是C132×（C42）2×C441/C525

18.一手扑克牌有5张，其中包含一个顺子的概率是多少？
先从52张扑克牌中抽5张，所以有C525种可能性，连续的5个数字有10种可能，每个数字的花色有4种可能所以是10×45，所以答案是10×45/C525.

19.一手扑克牌有5张，其中包含5张不同类的牌且不包括一个同花或者顺子的概率是多少？
先从52张扑克牌中抽5张，所以有C525种可能性，抽取五张不同字的牌有45×C135（13个数字随机抽5个数字，每个数字的花色可以有4种选择），童话的概率是4×C135/C525，顺子的概率是10×45/C525，同花顺的概率是4×10/C525，利用并集的容斥原理可得答案为1277/2548。

27.求从不超过40的正整数中选6个整数，并且恰好选中1个的概率，不考虑整数顺序。
从40个数字中选6个的可能性有C406，恰好选中1个说明还有5个没有选中，所以没有选中的可能性有C345，选中的数字有6中可能性，所以答案是6×C345/C406.

28.美国宾夕法尼亚超级彩票的玩法是，买彩票的人要从前80个正整数中选出7个数。如果这七个数是在由宾夕法尼亚彩票委员会选出的11个数中的6个就能赢大奖，那么一个人赢大奖的概率是多少？
首先委员会选出的组合有C8011种，中了至少6个数字说明还有4个数字没有被选中，所以有C734种可能性，这里的73就是减去玩家选的数字，玩家选的数字可能中也可能不中，但是已经没关系了，所以答案是C734/C8011。

33.在一次绘画比赛中，200个人进入决赛，在下述条件下。艾比、巴里、西尔维亚分别赢得一等奖、二等奖、三等奖的概率是多少？
(a)如果每个人至多得一个奖。
这道题还没想通……
(b)如果允许一个人得多个奖。

35.在轮盘赌中，旋转一个有38个数的轮盘，其中18个是红的，18个数是黑的，另外两个既不红也不黑的数是0和00。当轮盘转动时，它到达任何特定数字的概率是1/38。
(b)轮盘两次落到同一个黑数的概率是多少？
这题也没有想通
(e)转动某次轮盘，落到1~6之间的某个数字，但下次转动轮盘却落不到这些数字之间的概率是多少？
第一次转轮盘的落到1~6之间的可能性是6/38，第二次不落到这些数字的概率是32/38，所以答案是48/361。

40.假定在蒙迪厅大厦难题中不是三个门而是四个门。当知道每个门后面是什么的主持人打开一个后面没有奖品的门并且给你机会选择的时候，你不改变选择并且赢了大奖的概率是多少？在还剩下两个门没有打开时，你改变原来的选择猜中两个门其中一个后面有奖的概率是多少？
前一问是1/4没有问题，后一问奖品有3/4的机会在其他门里，一个门你选择了，还有一个门以及被打开了，还剩下两扇门，如果你选错了并且改变主意，那你赢的机会是3/8。

41.这个问题由薛瓦利埃·德梅雷提出，并由布莱斯·帕斯卡和皮埃尔·德·费马解决。
a)求一个骰子掷4次时掷出一个6点的概率。

7.2

7.2.9 蒙特卡洛算法

到现在都没有做第二节的题……太慢了。看书的时候正好看到这里，之前不理解这段话，所以记一下。
蒙特卡洛算法中，算法判断问题的真伪性，在经过一定数量测试集的测试下，会给出答案“真”或“假”，每一次测试有两种回答：“真”或“不知道”。当测试集中的一次测试回答为“真”，则算法停止，因为答案已经确定为真；如果所有测试都回答“不知道”，那给出答案为“假”，但此时正确答案可能是真或假，也就是说，当没有测试证明问题是真的时候，那问题的答案就是假（这个是不是像很多猜想证明？）。
当答案为“真”的时候，算法测试答案有两种情况，一是“真”，设其可能性为p；二是“不知道”，设其可能性为（1-p）。则当所有测试（每个测试都是独立的）的回答都为不知道的概率是（1-p）n，随着测试次数的增加，其概率趋近于0，此时，答案为“真”并且回答“真”可能性接近于1.
但是我没看懂这个例题啊？？？！！试着用我的语言读一遍题目。
例15 质量控制
工厂买了k批芯片，每批n片，制造商只测试了k批中的1批（称为k1批好了），在其余（k2,k3,…,kn）批中做随机测试，抽到坏芯片的概率为0.1。
工厂想判定ki批中的芯片是否都好，每片都测，需要测n次，需要 O(n) 秒，怎么用更少时间检查是否被制造商测试过？
答：也就是说，测试过就代表整批都是好的，工厂是想知道是否检测过（而不是是否都好？？）。所以蒙特卡洛算法的问题就是：“这批芯片是否被测试过？”，抽x片随机做测试，当发现坏芯片算法回答“真”（也就是说测试过），如果芯片是好的，则回答“不知道”。按照蒙特卡洛算法的特性，被测试的是坏芯片的可能性是0.1，好的可能性是 1-0.1=0.9 ，则所有都没被测过的芯片回答“不知道”的可能性是0.9x,当x足够大，则这个可能性趋近于0。
还是没看懂……

第9章

9.1

首先先说明自反、对称、反对称和传递的四个关系的定义。
自反：一个集合里对任意一个元素x,都有(x,x)，但是这个关系集合中可以有其他元素。
对称：一个集合里对任意两个数x和y，都必须有(x,y)且(y,x)，也就是说这个关系集合中必须同时有(x,y)和(y,x)，当然(x,x)也是可以的（x=y的情况）。
反对称：一个集合中对任意两个数x和y，没有(x,y)和(y,x)同时出现的关系，也就是说这个关系集合中不允许同时出现(x,y)和(y,x)，但是如果x和y相等，也属于反对称。
传递：一个集合中对于任意x、y和z，有(x,y),(y,z)和(x,z)关系。也就是说一个关系集合中如果有(x,y)和(y,z)则必须有(x,z)，但是允许有(x,y),(x,z)单独出现。

9.4

9.4.5 沃舍尔算法

有关沃舍尔算法，书我是没看懂，但是这个链接说的很简明。
https://blog.csdn.net/foreverzili/article/details/68481930

9.6.4 极大元与极小元

极大元和最大元以及极小元和最小元的概念不是很清楚，百度了之后：
最大元与所有的元素都是可比的,即任给一个元素它与最大元都存在偏序关系,而极大元并不是这样,比较的前提是他们之间存在偏序关系。
所以才会有如果一个偏序集有一个最大元，那么这个偏序集有且仅有一个极大元且极大元就是那个最大元。
在哈塞图中可以表示为图有且只有一个顶点。

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