poj 2115 C Looooops(扩展欧几里德算法)

题意：

对于for(i=A ; i!=B ;i+=C)循环语句，问在k位存储系统中循环几次才会结束。
　　比如：当k=4时，存储的数 i 在0-15之间循环。(本题默认为无符号)

　　若在有限次内结束，则输出循环次数。

　　否则输出死循环。

二，思路：
本题利用扩展欧几里德算法求线性同余方程，设循环次数为 x ,则解方程 (A + C*x) % 2^k = B;求出最小正整数 x。
　　1，化简方程化为求线性同余方程标准式 ax ≡ b (mod n);
　　2，扩展欧几里德算法求解线性同余方程 C*x ≡ B-A (mod 2^k);上面的红色公式转化为这个式子没有看懂（两者之间的转化）
　　3，求出最小非负整数解。

1、化简：(A + C*x) mod 2^K = B --> C*x mod 2^k = B-A --> C*x ≡ B-A (mod 2^k);

(A+x*C)%(2^k)=B 变形(2^k)*y+B=A+C*x ==> C*x+(-(2^k)*y)=B-A;这个变形比较实用吧

2、求线性同余方程 C*x ≡ B-A (mod 2^k) ,

就相当于求二元一次方程 C*x + 2^k * y = B-A

　　i,代入扩展欧几里德算法，求解方程 C*x + 2^k * y = gcd(C , 2^k) ;

　　ii,利用方程 C*x + 2^k * y = gcd(C , 2^k)的解 x0 和x1 = x0 * c/d 求出原方程 a*x + b*y = c 的解 x1 ;前提是：d|c (c 能被 d 整除);

3、利用周期性变化求最小的非负整数解公式: x1 = (x1 % (b/d) + (b/d) ) % (b/d);
若方程的C*x + 2^k * y = B-A 的一组整数解为(x1 , y1)，则它的任意整数解为(x1 + k * (b/d) , y1 - k * (a/d) ) ( k取任意整数 ), T = b/d就为 x1 增长的周期
　　　　　i，若x1为负值，取最大的非正值：x1 = x1 % T ; 若x1为正值，以下两步无影响;
　　　　　ii，取正：x1 = x1 + T ;

　　　　　iii，防止 i 中的 x1=0 即 ii 中的 x1=T ：x1 = x1 % T ;

看到数论概论中的得到的一些总结（和上面的（2）ii类似：

已知ax+by=1的一组解为（x1,y1)，那么其他组的解为（x1+k*b,y1-k*a)(k为任意整数)

当ax+by=gcd(a,b)=d时，其他组的解变为（x1+k*b/d,y1-k*a/d),因此b/d就成为了一个增长周期

#include <iostream>
using namespace std;
void exgcd(long long a,long long b,long long &d,long long &x,long long &y)
{if(!b)//b==0说明上层a%b==0上层的b（这层的a)为最大公因数,则a*x+b*y=a{d=a; //递归到这时候a就是最大公因数（ d用来存储gcd(a,b)的值）//结合上一层exgcd(b,a%b,d,y,x)x=1;y=0;}else{exgcd(b,a%b,d,y,x);y=y-x*(a/b);//...........}
}
int main()
{long long A,B,C,x,y,T,d;int k;while(cin>>A>>B>>C>>k&&(A+B+C+k)){long long n=1LL<<k;//n = 1 * 2^k ;exgcd(C,n,d,x,y);//a*x + b*y = c ,C*x + 2^k * y =B-Aif((B-A)%d!=0)//上面（2）中的性质ii{cout<<"FOREVER"<<endl;continue;}x=x*(B-A)/d;T=n/d;x=(x%T+T)%T;cout<<x<<endl;}return 0;
}

poj 2115 C Looooops(扩展欧几里德算法)相关推荐

POJ 2115 C Looooops(扩展欧几里得)
辗转相除法(欧几里得算法) 时间复杂度:在O(logmax(a, b))以内 int gcd(int a, int b) {if (b == 0) return a;return gcd(b, a % ...
POJ - 2115 C Looooops(扩展欧几里得)
题目链接:点击查看题目大意:执行一个循环: for (variable = A; variable != B; variable += C) statement; 问在2的k次幂的范围内最少需要执行 ...
青蛙的约会(POJ 1061 扩展欧几里德算法)
POJ 1061 青蛙的约会扩展欧几里德算法简单介绍及应用题目大意: 两只青蛙在网上相识了,它们聊得很开心,于是觉得很有必要见一面.它们很高兴地发现它们住在同一条纬度线上,于是它们约定各自朝西跳, ...
集训笔记---扩展欧几里德算法（POJ NO.1061 青蛙的约会有点烦人小跳蛙gcd）
又在搬砖,本来以为这是一个追及问题,后来发现数据好像并不是那么个意思,后来把方程列出来,经过一个去模的操作,我们其实可以找到一点线索,那就是,一个经过变形的二元一次方程,那么在这种情况下,就可以利用扩 ...
欧几里德算法扩展欧几里德算法
欧几里德算法欧几里德算法又称辗转相除法,是指用于计算两个正整数a,b的最大公约数. 计算公式:gcd(a,b) = gcd(b,a mod b). 算法实现: public static int g ...
扩展欧几里德算法详解
转自:http://blog.csdn.net/zhjchengfeng5/article/details/7786595 扩展欧几里德算法谁是欧几里德?自己百度去先介绍什么叫做欧几里德算法有两 ...
欧几里德与扩展欧几里德算法——密码学笔记（五）
一.欧几里德算法又称辗转相除法,用于计算两个整数a,b的最大公约数. 基本算法:设a=qb+r,其中a,b,q,r都是整数,则gcd(a,b)=gcd(b,r),即gcd(a,b)=gcd(b,a% ...
欧几里德算法与扩展欧几里德算法
欧几里德算法欧几里德算法又称辗转相除法,用于计算两个整数a,b的最大公约数. 基本算法:设a=qb+r,其中a,b,q,r都是整数,则gcd(a,b)=gcd(b,r),即gcd(a,b)=gcd( ...
(扩展欧几里德算法)zzuoj 10402: C.机器人
10402: C.机器人 Description Dr. Kong 设计的机器人卡尔非常活泼,既能原地蹦,又能跳远.由于受软硬件设计所限,机器人卡尔只能定点跳远.若机器人站在(X,Y)位置,它可以原地 ...

poj 2115 C Looooops(扩展欧几里德算法)

poj 2115 C Looooops(扩展欧几里德算法)相关推荐

最新文章

热门文章