简析穷举算法，及其简单应用

穷举概述

穷举法又称列举法，其基本思想是逐一列举问题所涉及的所有情况。
穷举法常用于解决“是否存在”或“有多少种可能”等问题。
应用穷举法时应注意对问题所涉及的有限种情形须一一列举，既不能重复，又不能遗漏。
穷举通常应用循环结构来实现。在循环体中，应用选择结构实施判断筛选，求得所要求的解。

虽然巧妙和高效的算法很少来自穷举，但穷举设计作为一种常用的基础算法也很有意义：
（1）理论上，穷举可以解决可计算领域中的各种问题。尤其处在计算机计算速度非常高的今天，穷举的应用领域是非常广阔的。
（2）在实际应用中，通常要解决的问题规模不大，用穷举设计的算法其运算速度是可以接受的。此时，设计一个更高效率的算法代价不值得。
（3）穷举可作为某类问题时间性能的底限，用来衡量同样问题的更高效率的算法。

首先我们来看一个经典的例子：

百鸡百钱问题：

已知：公鸡5元一只，母鸡3元一只，小鸡一元3只。现用100元钱买了100只鸡。
问：公鸡母鸡小鸡各几只？（请考虑尽可能高效的方法）实际上上面的问题直接用数学的方法是不容易解出来的，因为未知数的个数多余方程的个数。这时就可以用到穷举法，列出所有的可能性。分析：
假设0只公鸡，0只母鸡，0只小鸡。结果???
假设0只公鸡，0只母鸡，1只小鸡。结果???
假设0只公鸡，0只母鸡，2只小鸡。结果???
......
假设0只公鸡，1只母鸡，0只小鸡。结果???
假设0只公鸡，1只母鸡，1只小鸡。结果???
假设0只公鸡，1只母鸡，2只小鸡。结果???
......
......
假设1只公鸡，0只母鸡，1只小鸡。结果???
假设1只公鸡，0只母鸡，2只小鸡。结果???
假设1只公鸡，0只母鸡，3只小鸡。结果???
......
......
......
假设100只公鸡，100只母鸡，100只小鸡。结果???
以上共有101*101*101(即1030301)种可能情况。这种思想，就是穷举思想，适合：问题的答案可能没有很直接的逻辑推理，但可以将所有“可能答案”都罗列出来，并且具有一定的规律性。

//原始思路：（穷举）
$count1 = 0;
for($gongji = 0; $gongji <= 100; ++ $gongji){for($muji = 0; $muji <= 100; ++ $muji){for($xiaoji = 0; $xiaoji <= 100; ++ $xiaoji){$shuliang = $gongji + $muji + $xiaoji;$zongjia = ($gongji * 5) + ($muji * 3) + ($xiaoji / 3);if( ($zongjia == 100) && ($shuliang == 100) ){echo "<br />公鸡有{$gongji}只,母鸡有{$muji}只，小鸡有{$xiaoji}只。";    }++ $count1;    //计算的次数}}
}echo "<br />总共计算了{$count1}次";  //1030301次，即101^3
echo "<hr />";

虽然对于计算机来说计算1030301次并不困难，但我们可以对上面的代码进行优化，尽可能的提高效率。

//优化1：
$count2 = 0;
for($gongji = 0; $gongji <= 100/5; ++ $gongji){ //考虑公鸡的价格for($muji = 0; $muji <= 100/3; ++ $muji){    //考虑母鸡的价格//for($xiaoji = 0; $xiaoji <= 100; ++ $xiaoji){$xiaoji = 100 - ($gongji + $muji); //公鸡母鸡的数量确定了，那么小鸡的数量也就确定了$zongjia = ($gongji * 5) + ($muji * 3) + ($xiaoji / 3);if( $zongjia == 100 ){echo "<br />公鸡有{$gongji}只,母鸡有{$muji}只，小鸡有{$xiaoji}只。";   }++ $count2;    //计算的次数//}}
}echo "<br />总共计算了{$count2}次";  //714次，优化了不少
echo "<br />";

//优化2：
$count3 = 0;
for($gongji = 0; $gongji <= 100/5; ++ $gongji){    //考虑公鸡的价格for($muji = 0; $muji <= (100-$gongji*5)/3; ++ $muji){ //考虑母鸡的价格,以及公鸡所花掉的钱//for($xiaoji = 0; $xiaoji <= 100; ++ $xiaoji){$xiaoji = 100 - ($gongji + $muji); //公鸡母鸡的数量确定了，那么小鸡的数量也就确定了$zongjia = ($gongji * 5) + ($muji * 3) + ($xiaoji / 3);if( $zongjia == 100 ){echo "<br />公鸡有{$gongji}只,母鸡有{$muji}只，小鸡有{$xiaoji}只。";   }++ $count3;    //计算的次数//}}
}echo "<br />总共计算了{$count3}次";  //364次
echo "<br />";

//优化3：
$count4 = 0;
for($gongji = 0; $gongji <= 100/5; ++ $gongji){    //考虑公鸡的价格for($muji = 0; $muji <= (100-$gongji*5)/3; ++ $muji){ //考虑母鸡的价格,以及公鸡所花掉的钱//for($xiaoji = 0; $xiaoji <= 100; ++ $xiaoji){$xiaoji = 100 - ($gongji + $muji); //公鸡母鸡的数量确定了，那么小鸡的数量也就确定了if($xiaoji % 3 != 0){//考虑小鸡的数量应该是3的倍数，价钱才能是“整数”continue;   //如果条件成立，直接跳出本次循环，后面的不再运算}$zongjia = ($gongji * 5) + ($muji * 3) + ($xiaoji / 3);if( $zongjia == 100 ){echo "<br />公鸡有{$gongji}只,母鸡有{$muji}只，小鸡有{$xiaoji}只。";   }++ $count4;    //计算的次数//}}
}echo "<br />总共计算了{$count4}次";  //121次

再来看下面一个例子：

数学问题：

有i,j,k,m,n五个字母分别代表0~9的数字，满足下面条件：
求i,j,k,m,n的实际值

    i  j  k  m  n
*                  i
------------------------
 n  n  n  n  n  n

<style>
div{ width:300px; position:relative;}
div span{ margin:10px;}
</style>
<script>
window.onload = function(){var aP = document.getElementsByTagName('p');var aSpan1 = aP[0].getElementsByTagName('span');var aSpan2 = aP[1].getElementsByTagName('span');var aSpan3 = aP[2].getElementsByTagName('span');for(var i=1;i<=9;i++){for(var j=0;j<=9;j++){for(var k=0;k<=9;k++){for(var m=0;m<=9;m++){for(var n=0;n<=9;n++){var a = 10000*i + 1000*j + 100*k + 10*m + n;var b = i;var c = n*111111;if(a*b==c){aSpan1[0].innerHTML = i;aSpan1[1].innerHTML = j;aSpan1[2].innerHTML = k;aSpan1[3].innerHTML = m;aSpan1[4].innerHTML = n;aSpan2[0].innerHTML = i;for(var x=0;x<aSpan3.length;x++){aSpan3[x].innerHTML = n;}}}}}}}};</script>
</head><body>
<div>
<p style="margin-left:35px;">
<span>i</span><span>j</span><span>k</span><span>m</span><span>n</span>
</p>
<p>*
<span style=" position:absolute; top:30px; left:180px;">i</span>
</p>
<hr />
<p>
<span>n</span><span>n</span><span>n</span><span>n</span><span>n</span><span>n</span>
</p>
</div>
</body>

运行结果为：

    7  9  3  6  5
*                  7
------------------------
 5  5  5  5  5  5

也就是i=7, j=9, k=3, m=6, n=5.
即79365*7=555555.

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