拓扑排序与关键路径(AOV网和AOE网)

一、AOV网(Activity On Vertex Network)

在一个表示工程的有向图中，用顶点表示活动，用弧表示活动之间的优先关系，这样的有向图为顶点表示活动的网，称为AOV网。

不能存在回路。

拓扑序列

设G(V,E)是一个具有n个顶点的有向图，V中的顶点序列满足若从顶点v~i~到v~j~有一条路径，则在顶点序列中v~i~必须在v~j~之前，称这样的一个顶点为拓扑序列。

二、拓扑排序算法

基本思路

从AOV网中选择一个入度为0的顶点输出，然后删去此顶点，并删除以此顶点为尾的弧，继续重复此步骤，直到输出全部顶点或者AOV网中不存在入度为0的点为止。

AOV网要一直删除顶点，所以用邻接表表示图比较合适。考虑到算法中要查找入度为0的点，所以在原顶点结点中增加一个入度域即可。

代码如下：

    //拓扑排序private static boolean TopologicalSort(){EdgeNode edgeNode = new EdgeNode();int i,k;int gettop = 0;int top = 0;          //栈指针下标int count = 0;        //输出顶点的个数Stack<Integer> stack = new Stack<>();for(i = 0; i < adjList.verNum; i++){if(adjList.vertexNodes[i].in == 0) {stack.push(i);}}while (! stack.empty()){gettop = stack.pop();System.out.print(adjList.vertexNodes[gettop].data+" -> ");count++;for(edgeNode = adjList.vertexNodes[gettop].firstEdge; edgeNode != null; edgeNode = edgeNode.next){k = edgeNode.adjvex;if(--adjList.vertexNodes[k].in == 0)stack.push(k);}}return count >= adjList.verNum;}

三、AOE网

在一个表示工程的带权有向图中，用顶点表示事件，用有向边表示活动，用边上的权值表示活动的持续时间，这种有向图的边表示活动的网，称为AOE网(Activity On Edge Network)。

关键路径

路径上各个活动所持续的时间之和称为路径长度，从源点到汇点具有最大长度的路径叫关键路径，在关键路径上的活动叫关键活动。

在工程活动中，耗费的时间取决于关键路径的长度；

拓扑排序解决了一个工程能否顺利进行的问题，关键路径解决了工程完成所需的最短时间问题。

算法基本思想

找到所有活动的最早开始时间和最晚开始时间，比较它们，如果相等就意味着此活动是关键活动，活动间的路径是关键路径，反之则不是。

代码如下：

 //求关键路径private static void CriticalPath(){ltv = new int[adjList.verNum];EdgeNode edgeNode = new EdgeNode();int i,gettop,j;int k = 0;int ete=0;int lte = 0;    //最早发生时间和最迟发生时间if(TopologicalSort()) {for (i = 0; i < adjList.verNum; i++) {ltv[i] = etv[adjList.verNum - 1];}while (!stack2.empty()) {gettop = stack2.pop();for (edgeNode = adjList.vertexNodes[gettop].firstEdge; edgeNode != null; edgeNode = edgeNode.next) {k = edgeNode.adjvex;if (ltv[k] - edgeNode.weight < ltv[gettop]) {ltv[gettop] = ltv[k] - edgeNode.weight;}}}for (j = 0; j < adjList.verNum; j++) {for (edgeNode = adjList.vertexNodes[j].firstEdge; edgeNode != null; edgeNode = edgeNode.next) {k = edgeNode.adjvex;ete = etv[j];lte = ltv[k] - edgeNode.weight;if (ete == lte) {System.out.printf("<v%d, v%d> length: %d \n ", j,k, edgeNode.weight);}}}}}//拓扑排序private static boolean TopologicalSort(){etv = new int[adjList.verNum];EdgeNode edgeNode = new EdgeNode();int i,k;int gettop = 0;int count = 0;        //输出顶点的个数Stack<Integer> stack = new Stack<>();for(i = 0; i < adjList.verNum; i++){if(adjList.vertexNodes[i].in == 0) {stack.push(i);}}for (i = 0; i < adjList.verNum; i++){etv[i] = 0;}System.out.println("拓扑序列为：");while (! stack.empty()){gettop = stack.pop();System.out.print(adjList.vertexNodes[gettop].data+" -> ");count++;stack2.push(gettop);           //   拓扑序列压栈for(edgeNode = adjList.vertexNodes[gettop].firstEdge; edgeNode != null; edgeNode = edgeNode.next){k = edgeNode.adjvex;if(--adjList.vertexNodes[k].in == 0)stack.push(k);if(etv[gettop]+edgeNode.weight > etv[k]){                //求各顶点最早发生时间etv[k] = etv[gettop] + edgeNode.weight;}}}System.out.println();return count >= adjList.verNum;}

时间复杂度为O(n+e)，e为边数。

本文用到的代码链接