算法笔记_图算法专题_关键路径 AOV网和AOE网

关键路径

1.基本概念

1.AOV网：顶点活动网，是指用顶点表示活动，而用边集表示活动优先关系的有向无环图。
2.AOE网：边活动网，是指用带权的边集表示活动，而用顶点表示事件的有向无环图。
AOV网和AOE网都不能存在环，否则会出现逻辑错误。3.一般而言，AOV网(AOE网)只有一个源点和一个汇点，即便存在多个源点或汇点，也可以通过添加超级源点和超级汇点来将它变成只含有一个源点和一个汇点的AOV网（AOE网）4.AOV转换为AOE：
（1）将AOV的每个顶点都拆成两个顶点，分别表示活动的起点和终点，用有向边连接，有向边表示原顶点的活动，边权给定。
（2）原AOV网中的边全部视为空活动，边权为0。5.解决的问题：a.工程起始到终止至少需要多少时间b.哪条（些）路径上的活动是影响整个工程的进度的关键

2.关键路径求法

在AOE网中求解。（1）变量说明：
1.e[]：e数组用来表示活动a的最早开始时间
2.l[]：l数组用来表示活动a的最迟开始时间
3.ve[]：表示事件i的最早发生时间
4.vl[]：表示事件i的最迟发生时间关键活动：关键路径上的活动。e[r]==l[r]表示活动a[r]是关键活动。
关系：e[r] = ve[i]     l[r] = vl[j]-length[r]（2）求解每个结点的 ve 和 vl
ve[j] = max{ ve[i1]+length[r1] ~ ve[ik]+length[rk] }：拓扑序
vl[i] = min{ vl[j1]-lenght[r1] ~ vl[jk]-length[rk] }：逆拓扑序（3）代码实现：//拓扑序列stack<int> topOrder;//拓扑排序，顺便求ve数组bool topologicalSort(){queue<int> q;for(int i=0;i<n;i++){if(inDegree[i]==0){q.push(i);}}while(!q.empty()){int u = q.front();q.pop();topOrder.push(u);for(int i=0;i<G[u].size();i++){int v = G[u][i].v;inDegree[v]--;if(inDegree[v]==0){q.push(v);}//用ve[u]更新u的所有后继结点v的ve[v]if(ve[u]+G[u][i].w>ve[v]){ve[v] = ve[u]+G[u][i].w;} }}if(topOrder.size()==n) return true;else return false;} //关键路径int CriticalPath(){memset(ve,0,sizeof(ve));if(topologicalSort()==false){return -1;//不是有向无环图，返回-1 } fill(vl,vl+n,ve[n-1]);//假设n-1为汇点，vl数组初始化//直接使用topOrder出栈即为逆拓扑序列，求解vl数组while(!topOrder.empty()){int u = topOrder.top();topOrder.pop();for(int i=0;i<G[u].size();i++){int v = G[u][i].v;//用u的所有后继结点v的vl[v]来更新vl[u]if(vl[v]-G[u][i].w<vl[u]){vl[u] = vl[v]-G[u][i].w;} }} //遍历邻接表的所有边，计算活动的最早开始事件e和最迟开始时间lfor(int u=0;u<n;u++){for(int i=0;i<G[u].size();i++){int v = G[u][i].v;int w = G[u][i].w;int e = ve[u];int l = vl[v]-w;if(e==l){printf("%d->%d",u,v);//输出关键活动 }}} return ve[n-1];}

如果不确定哪个是汇点，那就取ve数组的最大值，汇点的ve最大。
将以下代码加到上述代码的fill前面。int maxlength = 0;for(int i=0;i<n;i++){if(ve[i]>maxlength){maxlength = ve[i];}}fill(vl,vl+n;maxlength);

如果图中有多条关键路径，并且要完整输出所有关键路径，可以将关键活动存下来。方法就是建立一个邻接表，
当确定u->v是关键活动时，将边u->v加入邻接表。最后在用DFS遍历这个图就可以获取所有关键路径。

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