图的应用（AOV网、AOE网、图连通性）：

AOV网：

在一个表示工程的有向图中，用顶点表示活动，用弧表示活动之间的优先关系，称这样的有向图为顶点表示活动的网，简称AOV网。

AOV网特点：

1.AOV网中的弧表示活动之间存在的某种制约关系。
2.AOV网中不能出现回路。

拓扑序列：

设G=(V，E)是一个具有n个顶点的有向图，V中的顶点序列v1, v2, …, vn称为一个拓扑序列，当且仅当满足下列条件：若从顶点vi到vj有一条路径，则在顶点的拓扑序列中顶点vi必在顶点vj之前。
拓扑排序：对一个有向图构造拓扑序列的过程称为拓扑排序。

拓扑序列使得AOV网中所有应存在的前驱和后继关系都能得到满足。

拓扑排序——基本思想：

⑴ 从AOV网中选择一个没有前驱的顶点并且输出；
⑵ 从AOV网中删去该顶点，并且删去所有以该顶点为尾的弧；
⑶ 重复上述两步，直到全部顶点都被输出，或AOV网中不存在没有前驱的顶点。

基于邻接表的拓扑排序 的基本思想：
（1）找G中无前驱的顶点
查找indegree ［i］为零的顶点vi；
（2）修改邻接于顶点i的顶点的入度（删除以i为起点的所有弧）
对链在顶点i后面的所有邻接顶点k，将对应的indegree［k］减1。
为了避免重复检测入度为零的顶点，可以再设置一个辅助栈，若某一顶点的入度减为0，则将它入栈。每当输出某一入度为0的顶点时，便将它从栈中删除。

拓扑排序算法——伪代码：

栈S初始化；累加器count初始化；
扫描顶点表，将没有前驱的顶点压栈；
当栈S非空时循环
3.1 vj=退出栈顶元素；输出vj；累加器加1；
3.2 将顶点vj的各个邻接点的入度减1；
3.3 将新的入度为0的顶点入栈；
if (count<vertexNum) 输出有回路信息；

void TOpSort(){
int  top=-1, count=0;
for(int i=0;i<vertexnum;i++)if(adjlist[i].in==0) s[++top]=i;
while(top!=-1){j=s[top--]; cout <<adjlist[j].vertext;   count++;p=adjlist[j].firstedge;while(p!=NULL){k=p->adjvex; adjlist[k].in--;if(adjlist[k].in==0) s[top++]=k;p=p->next;}
}
If (count<vertexNum) cout<<“有回路”；
}

AOE网：

在一个表示工程的带权有向图中，
用顶点表示事件，
用有向边表示活动，
边上的权值表示活动的持续时间，

AOE网中没有入边的顶点称为始点（或源点），没有出边的顶点称为终点（或汇点）。

AOE网的性质：

⑴ 只有在某顶点所代表的事件发生后，从该顶点出发的各活动才能开始；
⑵ 只有在进入某顶点的各活动都结束，该顶点所代表的事件才能发生。

关键路径：
在AOE网中，从始点到终点具有最大路径长度（该路径上的各个活动所持续的时间之和）的路径称为关键路径。

关键活动：关键路径上的活动称为关键活动。

要找出关键路径，必须找出关键活动, 即不按期完成就会影响整个工程完成的活动。
⑴ 事件的最早发生时间ve[k]
⑵ 事件的最迟发生时间vl[k]
⑶ 活动的最早开始时间e[i]
⑷ 活动的最晚开始时间l[i]
最后计算各个活动的时间余量 l[k] - e[k]，时间余量为0者即为关键活动。

存储结构的选择：
采用了 邻接矩阵和边集数组 两种存储结构。
邻接矩阵可以方便的查找邻接点，完成时间的最早和最晚发生时间的计算。
边集数组可以方便的计算时间的活动的最晚发生时间

struct Edge{int from;int to;int e;int l;
};class Grap{int vertexnum,e;int **adjlist;   //邻接矩阵int start,end;Edge *edge;  //边集数组
public:Grap(int n,int e);int  path();
};

事件的最早发生时间ve[k]：

ve[k]是指从始点开始到顶点vk的最大路径长度。这个长度决定了所有从顶点vk发出的活动能够开工的最早时间。

ve[1]=0
ve[k]=max{ve[j]+len<vj, vk>} (<vj, vk>∈p[k])
p[k]表示所有到达vk的有向边的集合

ve[k]的计算：

    q.push(0);//源点事件入队for(j=0;j<vertexnum;j++) {  //初始化每个事件最早发生时间ve[j]=0; visit[j]=0;    }visit[0]=1;   while(!q.empty())   {       i=q.front();       //利用标准模板库中的队列实现q.pop();for(j=0;j<vertexnum;j++){//计算i的邻接点的veif(adjlist[i][j]!=9999 && ve[i]+adjlist[i][j]>ve[j] ){ve[j]=ve[i]+adjlist[i][j];if(!visit[j])   //如果j没有被访问过，顶点j入队q.push(j);visit[j]=1;}}}

事件的最迟发生时间vl[k]：

vl[k]是指在不推迟整个工期的前提下,事件vk允许的最晚发生时间。
vl[n]=ve[n]
vl[k]=min{vl[j]-len<vk , vj>}（<vk, vj>∈s[k]）
s[k]为所有从vk发出的有向边的集合

vl[k]的计算：

    q.push(vertexnum-1);for(j=0;j<vertexnum;j++)   {vl[j]=ve[vertexnum-1];    visit[j]=0;    }while(!q.empty())  {i=q.front();q.pop();for(j=0;j<vertexnum;j++)    {if(adjlist[j][i]!=9999 && vl[i]-adjlist[j][i]<vl[j] ){vl[j]=vl[i]-adjlist[j][i];if(!visit[j])q.push(j);visit[j]=1;}}}

活动的最早开始时间e[i]：

若活动ai是由弧<vk , vj>表示，则活动ai的最早开始时间应等于事件vk的最早发生时间。因此，有：
e[i]=ve[k]

活动的最晚开始时间l[i]：

活动ai的最晚开始时间是指，在不推迟整个工期的前提下， ai必须开始的最晚时间。
若ai由弧<vk，vj>表示，
则ai的最晚开始时间要保证事件vj的最迟发生时间不拖后。
因此，有：
l[i]=vl[j]-len<vk, vj>

for(i=0;i<e;i++){edge[i].e=ve[edge[i].from];edge[i].l=vl[edge[i].to]-adjlist[edge[i].from][edge[i].to];}

求无向图的连通分量（非连通图的遍历方法）:

1.count=0;
2. for (图中每个顶点v)
2.1 if (v尚未被访问过)
2.1.1 count++;
2.1.2 从v出发遍历该图（函数调用）；
3. if (count==1) cout<<“图是连通的”;
else cout<<“图中有”<<count<<“个连通分量”;

加油，学习数据结构！