fft理解-cooley turkey

如上图所示，我们要求f(x)=a0+a1x1+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5+a6x6+a7x7f(x)=a_0+a_1x^1+a_2x^2+a_3x^3+a_4x^4+a_5x^5+a_6x^6+a_7x^7f(x)=a0+a1x1+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5+a6x6+a7x7。从其中取八个不同的点，(xi,f(xi))(x_i,f(x_i))(xi,f(xi))，那么这八个点也可以用来代表这个方程，例如，一次函数可以通过两个点确定，二次函数可以通过三个点确定，7次函数可以通过八个点确定。本文着重理解，不给出证明。如果随便取八点无关的点，那么计算每个点的复杂度为O(n)O(n)O(n)，而一共nnn个点，故其复杂度为O(n2)O(n^2)O(n2)。而如果我们令w8=1且w4=−1w^8=1且w^4=-1w8=1且w4=−1，这在复数域上有解。取
w0,w1,w2,w3,w4,w5,w6,w7w^0,w^1,w^2,w^3,w^4,w^5,w^6,w^7w0,w1,w2,w3,w4,w5,w6,w7，这样一些有关系的点，可以注意到，w0,w2,w4,w6w^0,w^2,w^4,w^6w0,w2,w4,w6对于x4x^4x4的值都为1，而w1,w3,w5,w7w^1,w^3,w^5,w^7w1,w3,w5,w7对于x4x^4x4的值都为-1。所于对于函数f(x)，我们可以利用1,−11,-11,−1去把所有大于4次方的削掉，并将要求解的值分为偶数次和奇数次，如上图所示，这个做法的时间为O(n)O(n)O(n)，此时它变成两个333次函数，可以利用同样的方法再次操作，第一层宽度为8，第二层为4，第三层为2，第四层为1，它们分别对于7次函数，3次函数，1次函数，0次函数（即常数），共需计算log2(8)=3log_2(8)=3log2(8)=3层，第一层不用计算。所以复杂度为nlog(n)nlog(n)nlog(n)。

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